Открыть главное меню

(также встречается обозначение ; читается «эль-пэ»; также — лебеговы пространства) — это пространства измеримых функций, таких, что их -я степень интегрируема, где .

 — важнейший класс банаховых пространств. (читается «эль-два») — классический пример гильбертова пространства.

ПостроениеПравить

Для построения пространств   используются  -пространства. Пространство   для пространства с мерой   и   — множество измеримых функций, определённых на этом пространстве, таких что:

 .

Как следует из элементарных свойств интеграла Лебега и неравенства Минковского, пространство   линейно.

На линейном пространстве   вводится полунорма:

 .

Неотрицательность и однородность следуют напрямую из свойств интеграла Лебега, а неравенство Минковского является неравенством треугольника для этой полунормы[1]

Далее, на   вводится отношение эквивалентности:  , если   почти всюду. Это отношение разбивает пространство   на непересекающиеся классы эквивалентности, причём полунормы любых двух представителей одного и того же класса совпадают. На построенном факторпространстве (то есть семействе классов эквивалентности)   можно ввести норму, равную полунорме любого представителя данного класса. По определению, все аксиомы полунормы сохранятся, и вдобавок в силу изложенного построения оказывается выполненной и положительная определённость.

Факторпространство   с построенной на нём нормой, и называется пространством   или просто  .

Чаще всего данное построение имеют в виду, но не упоминают явно, а элементами   называют не классы эквивалентности функций, а сами функции, определённые «с точностью до меры нуль».

При     не образуют нормированного пространства, так как не выполняется неравенство треугольника[2], однако образуют метрические пространства. В этих пространствах нет нетривиальных линейных непрерывных операторов.

ПолнотаПравить

Норма на   вместе с линейной структурой порождает метрику:

 ,

а следовательно, на пространствах возможно определить сходимость: последовательность функций   называют сходящейся к функции  , если:

  при  .

Согласно теореме Риса — Фишера, пространство   полно, то есть любая фундаментальная последовательность в   сходится к элементу этого же пространства. Таким образом   — банахово пространство.

Пространство L²Править

В случае   норма порождается скалярным произведением. Таким образом, вместе с понятием «длины» здесь имеет смысл и понятие «угла», а следовательно и смежные понятия, такие как ортогональность, проекция.

Скалярное произведение на пространстве   вводится следующим образом:

 ,

в случае, если рассматриваемые функции комплекснозначные, или:

 ,

если они вещественные. Тогда, очевидно:

 ,

то есть норма порождается скалярным произведением. В виду полноты любого   следует, что   — гильбертово.

Пространство LПравить

Пространство   строится из пространства   измеримых функций, ограниченных почти всюду, отождествлением между собой функций, различающиеся лишь на множестве меры нуль, и, положив по определению:

 , где   — существенный супремум функции.

  — банахово пространство.

Метрика, порождаемая нормой  , называется равномерной. Также называется и сходимость, порождённая такой метрикой:

  в  , если   при  .

СвойстваПравить

  • Сходимость функций почти всюду не влечёт сходимость в пространстве  . Пусть   при   и   при  ,  . Тогда   почти всюду. Но  . Обратное также неверно.
  • Если   при  , то существует подпоследовательность  , такая что   почти всюду.
  •   функции на числовой прямой могут быть приближены гладкими функциями. Пусть   — подмножество  , состоящее из бесконечно гладких функций. Тогда   всюду плотно в  .
  •   — сепарабельно при  .
  • Если   — конечная мера, например, вероятность, и  , то  . В частности,  , то есть случайная величина с конечным вторым моментом имеет конечный первый момент.

Сопряжённые пространстваПравить

Для пространств  , сопряжённое к   (пространств линейных функционалов на  ) имеет место следующее свойство: если  , то   изоморфно   ( ), где  . Любой линейный функционал на   имеет вид:

 

где  .

В силу симметрии уравнения  , само пространство   дуально (с точностью до изоморфизма) к  , а следовательно:

 

Этот результат справедлив и для случая  , то есть  . Однако   и, в частности,  .

Пространства pПравить

Пусть  , где   — счётная мера на  , то есть  . Тогда если  , то пространство   представляет собой семейство последовательностей  , таких что:

 .

Соответственно, норма на этом пространстве задаётся

 .

Получившееся нормированное пространство обозначается  .

Если  , то рассматривается пространство ограниченных последовательностей с нормой:

 .

Получившееся пространство называется  , оно является примером несепарабельного пространства.

Как и в общем случае, положив  , получается гильбертово пространство  , чья норма порождена скалярным произведением:

 ,

если последовательности комплекснозначные, и:

 

если они вещественны.

Пространство, сопряжённое с  , где   изоморфно  ,  . Для  . Однако  .

ПримечанияПравить

  1. Введённая таким образом полунорма не является нормой, ибо если   почти всюду, то  , что противоречит требованиям к норме. Чтобы превратить пространство с полунормой в пространство с нормой, необходимо «отождествить» функции, различающиеся между собой лишь на множестве меры нуль.
  2. Точнее, выполняется обратное неравенство треугольника — при  :  

ЛитератураПравить