Полунорма или преднорма — обобщение понятия норма; в отличие от последней, полунорма может равняться нулю на ненулевых элементах пространства.

ОпределениеПравить

Полунормой называется неотрицательная функция  , в линейном пространстве   над полем вещественных или комплексных чисел, удовлетворяющая следующим условиям:

  1. Абсолютная однородность:   для любого скаляра  
  2. Неравенство треугольника:   для всех  

Пространство   называется полунормированным пространством.

СвойстваПравить

  •  
Это свойство следует из первого условия определения и равенства  , здесь первый нуль принадлежит полю вещественных или комплексных чисел, а второй и третий — пространству  :
  (где   следует из линейности  )
  •  
Это свойство также получается из первого условия при  .
  •  
Если предположить существование такого  , что  , то из первого условия определения следует, что и  . Воспользовавшись вторым условием,   получаем противоречие с первым свойством.

ЛитератураПравить

  • Рудин У. Функциональный анализ, пер. с англ., — М., 1975.