Полунорма

Полунорма или преднорма — обобщение понятия норма; в отличие от последней, полунорма может равняться нулю на ненулевых элементах пространства.

Определение

Полунормой называется неотрицательная функция $p\colon L\to \mathbb {R}$, в линейном пространстве $L$ над полем вещественных или комплексных чисел, удовлетворяющая следующим условиям:

1. Абсолютная однородность: $p(\alpha x)=|\alpha |p(x)$ для любого скаляра $\alpha$
2. Неравенство треугольника: $p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)$ для всех $x,y\in L$

Пространство ${(L,\;p)}$ называется полунормированным пространством.

Свойства

• $p(0)=0$

Это свойство следует из первого условия определения и равенства $0_{\mathbb {R} }\cdot 0_{L}=0_{L}$, здесь первый нуль принадлежит полю вещественных или комплексных чисел, а второй и третий — пространству $L$:

$p(0_{L})=p(0_{\mathbb {R} }\cdot 0_{L})=|0_{\mathbb {R} }|\cdot p(0_{L})=0_{\mathbb {R} }$ (где $0_{L}=0_{\mathbb {R} }\cdot 0_{L}$ следует из линейности $L$)

• $p(x)=p(-x)$

Это свойство также получается из первого условия при $\alpha =-1$.

• $p(x)\geqslant 0$

Если предположить существование такого $x^{*}$, что $p(x^{*})<0$, то из первого условия определения следует, что и $p(-x^{*})<0$. Воспользовавшись вторым условием, $p(0)=p(x^{*}-x^{*})\leqslant p(x^{*})+p(-x^{*})<0$ получаем противоречие с первым свойством.

Литература

• Рудин У. Функциональный анализ, пер. с англ., — М., 1975.