Открыть главное меню

Нера́венство треуго́льника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух его других сторон. Неравенство треугольника включается как аксиома в определение метрического пространства, нормы и т.д.; также, часто является теоремой в различных теориях.

Евклидова геометрияПравить

 
Длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других.

Пусть дан треугольник   Тогда   причём равенство   достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка   лежит строго между   и  .

Евклид в Началах доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника.

Нормированное пространствоПравить

Пусть  нормированное векторное пространство, где   — произвольное множество, а   — определённая на   норма. Тогда по определению последней справедливо:

 

Гильбертово пространствоПравить

В гильбертовом пространстве, неравенство треугольника является следствием неравенства Коши — Буняковского.

Метрическое пространствоПравить

Пусть  метрическое пространство, где   — произвольное множество, а   — определённая на   метрика. Тогда по определению последней

 

Вариации и обобщенияПравить

Обратное неравенство треугольникаПравить

Следствием неравенства треугольника в нормированном и метрическом пространствах являются следующие неравенства:

  •  
  •  

Неравенство треугольника для трёхгранного углаПравить

Каждый плоский угол выпуклого трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Произвольное число точекПравить

Обозначим   расстояние между точками   и  . Тогда имеет место следующее неравенство:  . Оно получается последовательным применением неравенства треугольника для трех точек:  [1]

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 28