Открыть главное меню

Фундаментальная последовательность

Фундаментальная последовательность, или сходящаяся в себе последовательность, или последовательность Коши — последовательность точек метрического пространства такая, что для любого ненулевого заданного расстояния существует элемент последовательности, начиная с которого все элементы последовательности находятся друг от друга на расстоянии менее, чем заданное.

ОпределениеПравить

Последовательность точек   метрического пространства   называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:

для любого   существует такое натуральное  , что   для всех  .

Связанные определенияПравить

  • Пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого же пространства, называется полным.

СвойстваПравить

  • Каждая сходящаяся последовательность является фундаментальной, но не каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу из своего пространства.
  • Метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда всякая система вложенных замкнутых шаров с неограниченно убывающим радиусом имеет непустое пересечение, состоящее из одной точки.
  • Если последовательность фундаментальна и содержит сходящуюся подпоследовательность, то сама последовательность сходится.
  • Если последовательность фундаментальна, то она ограничена.

ЛитератураПравить

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004. — 7-е изд.
  • Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. 3, — М.: Наука, 1970.