Признак Дини

Признак Ди́ни — признак поточечной сходимости ряда Фурье. Несмотря на то, что ряд Фурье функции из $L_{2}([-\pi ,\pi ])$ сходится к ней в смысле $L_{2}$-нормы, он вовсе не обязан сходиться к ней поточечно (даже в случае непрерывной функции). Тем не менее при некоторых дополнительных условиях (например, в случае, когда функция гладкая или хотя бы удовлетворяет условию Гёльдера или Липшица с каким-нибудь положительным показателем) поточечная сходимость всё же имеет место.

Сходимость ряда Фурье в конкретной точке является локальным свойством функции: если две функции совпадают в некоторой окрестности точки $t$, то их ряды Фурье в этой точке сходятся или расходятся одновременно.

Признак Дини устанавливает весьма общее условие такой сходимости. Назван в честь итальянского математика Улисса Ди́ни.

Признак Дини

Положим для $\delta >0$

$\omega _{f}(t,\delta )=\sup \limits _{s:|s-t|\leqslant \delta }|f(t)-f(s)|$.

(модуль непрерывности функции $f$ в точке $t$).

Если функция $f$ удовлетворяет условию

$\int \limits _{0+}\limits {\frac {\omega _{f}(t,\delta )\,d\delta }{\delta }}<+\infty$,

то её ряд Фурье в точке $t$ сходится к $f(t)$ .

---

Замечание. Условия признака Дини выполняются, в частности, при

$\omega _{f}(t,\delta )\leqslant C\left({\frac {1}{\mathop {\mathrm {ln} } {\frac {1}{\delta }}}}\right)^{\gamma },$

где $\gamma >1$ (Это гораздо более слабое условие, чем любое условие Гёльдера). Взять $\gamma =1$ нельзя.

Модифицированный признак Дини

Справедлива также модификация признака Дини для случая, когда функция $f$ имеет разрыв в точке $t$, но тем не менее её сужения на промежутки $(t-\varepsilon ,t)$ и $(t,t+\varepsilon )$ могут быть продолжены до функций, удовлетворяющих признаку Дини.

Пусть $f_{+},f_{-}$ — некоторые числа. Положим для $\delta >0$

$\omega _{f,f_{+}}^{+}(t,\delta ):=\sup \limits _{s\in (t,t+\delta )}|f(s)-f_{+}|$,

$\omega _{f,f_{-}}^{-}(t,\delta ):=\sup \limits _{s\in (t-\delta ,t)}|f(s)-f_{-}|$.

Если числа $f_{+}$, $f_{-}$ и функция $f$ таковы, что

$\int \limits _{0+}\limits {\frac {\omega _{f,f_{+}}^{+}(t,\delta )\,d\delta }{\delta }}<+\infty$,

$\int \limits _{0+}\limits {\frac {\omega _{f,f_{-}}^{-}(t,\delta )\,d\delta }{\delta }}<+\infty$,

то ряд Фурье функции $f$ в точке $t$ сходится к ${\frac {f_{+}+f_{-}}{2}}$.

Признак Дини — Липшица

Если модуль непрерывности функции $f$ в точке $t$ удовлетворяет условию

$\omega _{f}(t,\delta )=o\left({\frac {1}{\mathop {\mathrm {ln} } {\frac {1}{\delta }}}}\right)$,

то ряд Фурье функции $f$ в точке $t$ сходится к $f(t)$

Точность признаков Дини и Дини — Липшица

Если возрастающая неотрицательная функция $\Omega$ такова, что

$\int \limits _{0+}\limits {\frac {\Omega (\delta )\,d\delta }{\delta }}=+\infty$,

то существует функция $f$, такая, что

$\omega _{f}(t,\delta )\leqslant \Omega (\delta )$

при всех достаточно маленьких $\delta$, и ряд Фурье функции $f$ расходится в точке $t$.

Существует функция $f$ с расходящимся в нуле рядом Фурье, удовлетворяющая условию

$\omega _{f}(0,\delta )=O\left({\frac {1}{\mathop {\mathrm {ln} } {\frac {1}{\delta }}}}\right)$,

Пример применения признака Дини: сумма обратных квадратов

Рассмотрим периодическое продолжение функции $x^{2}$ с промежутка $[-\pi ,\pi )$:

$f(x)=\left(\pi \left\{{\frac {x}{\pi }}\right\}\right)^{2},$

где фигурные скобки означают дробную часть числа. Несложно найти разложение этой функции в ряд Фурье:

$f(x)\sim {\frac {\pi ^{2}}{3}}+4\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}\cos nx$

Подставляя $x=0$ и $x=\pi$, и пользуясь для обоснования поточечной сходимости соответственно обычным и модифицированным признаком Дини, получаем равенства:

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{12}}$

и

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$.

См. также

• Теорема Дини