Открыть главное меню
Графики первых четырёх функций Уолша

Функциями Уолша называется семейство функций, образующих ортогональную систему, принимающих значения только +1 и −1 на всей области определения.

В принципе, функции Уолша могут быть представлены в непрерывной форме, но чаще их определяют как дискретные последовательности из элементов. Группа из функций Уолша образует матрицу Адамара.

Функции Уолша получили широкое распространение в радиосвязи, где с их помощью осуществляется кодовое разделение каналов (CDMA), например, в таких стандартах сотовой связи, как IS-95, CDMA2000 или UMTS.

Система функций Уолша является ортонормированным базисом и, как следствие, позволяет раскладывать сигналы произвольной формы в обобщённый ряд Фурье.

Обобщением функций Уолша на случай более чем двух значений являются функции Виленкина — Крестенсона.

ОбозначениеПравить

Пусть функция Уолша определена на интервале [0, T]; за пределами этого интервала функция периодически повторяется. Введём безразмерное время  . Тогда функция Уолша под номером k обозначается как  . Нумерация функций зависит от метода упорядочения функций. Существует упорядочение по Уолшу — в этом случае функции обозначаются так, как описано выше. Также распространены упорядочения по Пэли ( ) и по Адамару ( ).

Относительно момента   функции Уолша можно разделить на чётные и нечётные. Они обозначаются как   и   соответственно. Эти функции аналогичны тригонометрическим синусам и косинусам. Связь между этими функциями выражается следующим образом:

 
 

ФормированиеПравить

Существует несколько способов формирования. Рассмотрим один из них, наиболее наглядный: матрица Адамара может быть сформирована рекурсивным методом с помощью построения блочных матриц по следующей общей формуле:

 

Так может быть сформирована матрица Адамара длины  :

 
 
 

Каждая строка матрицы Адамара и является функцией Уолша.

В данном случае функции упорядочены по Адамару. Номер функции по Уолшу вычисляется из номера функции по Адамару путём перестановки битов в двоичной записи номера в обратном порядке с последующим преобразованием результата из кода Грея.

ПримерПравить

Номер по Адамару Двоичная форма Перестановка бит Преобразование из кода Грея Номер по Уолшу
0 00 00 00 0
1 01 10 11 3
2 10 01 01 1
3 11 11 10 2

В итоге получается матрица Уолша, в которой функции упорядочены по Уолшу:

 

СвойстваПравить

1. ОртогональностьПравить

Скалярное произведение двух разных функций Уолша равно нулю:

 

ПримерПравить

Допустим, что n = 1, k = 3 (см. выше). Тогда

 
 

2. МультипликативностьПравить

Произведение двух функций Уолша даёт функцию Уолша:

 

где   — сложение по модулю 2 номеров в двоичной системе.

ПримерПравить

Допустим, что n = 1, k = 3. Тогда

 

В результате умножения получим:

 

Преобразование Уолша — АдамараПравить

Является частным случаем обобщённого преобразования Фурье, в котором базисом выступает система функций Уолша.

Обобщённый ряд Фурье представляется формулой

 

где   это одна из базисных функций, а   — коэффициент.

Разложение сигнала по функциям Уолша имеет вид

 

В дискретной форме формула запишется следующим образом:

 

Определить коэффициенты   можно, осуществив скалярное произведение раскладываемого сигнала на соответствующую базисную функцию Уолша:

 

Следует учитывать периодический характер функций Уолша.

Существует также быстрое преобразование Уолша[1]. Оно является в значительной степени более эффективным, чем преобразование Уолша — Адамара[2]. Кроме того, для частного случая с двумя переменными функции Уолша обобщены как поверхности[3]. Также существуют восемь аналогичных функциям Уолша базисов ортогональных бинарных функций[4], отличающихся нерегулярной структурой, которые также обобщены на случай функций двух переменных. Для каждого из восьми базисов доказано представление «ступенчатых» функций в виде конечной суммы бинарных функций, взвешиваемых с соответствующими коэффициентами[5].

ЛитератураПравить

  • Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. — М.: Высшая школа, 2005. — ISBN 5-06-003843-2.
  • Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша: теория и применения. — М.: Наука, 1987.
  • Залманзон Л. А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. — М.: Наука, 1989. — ISBN 5-02-014094-5.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить