Функция Уолша

Функциями Уолша называется семейство функций, образующих ортогональную систему, принимающих значения только +1 и −1 на всей области определения.

Графики первых четырёх функций Уолша

В принципе, функции Уолша могут быть представлены в непрерывной форме, но чаще их определяют как дискретные последовательности из элементов. Группа из функций Уолша образует матрицу Адамара.

Функции Уолша получили широкое распространение в радиосвязи, где с их помощью осуществляется кодовое разделение каналов (CDMA), например, в таких стандартах сотовой связи, как IS-95, CDMA2000 или UMTS.

Система функций Уолша является ортонормированным базисом и, как следствие, позволяет раскладывать сигналы произвольной формы в обобщённый ряд Фурье.

Обобщением функций Уолша на случай более чем двух значений являются функции Виленкина — Крестенсона.

Обозначение

править

Пусть функция Уолша определена на интервале [0, T]; за пределами этого интервала функция периодически повторяется. Введём безразмерное время  . Тогда функция Уолша под номером k обозначается как  . Нумерация функций зависит от метода упорядочения функций. Существует упорядочение по Уолшу — в этом случае функции обозначаются так, как описано выше. Также распространены упорядочения по Пэли ( ) и по Адамару ( ).

Относительно момента   функции Уолша можно разделить на чётные и нечётные. Они обозначаются как   и   соответственно. Эти функции аналогичны тригонометрическим синусам и косинусам. Связь между этими функциями выражается следующим образом:

 
 

Формирование

править

Существует несколько способов формирования. Рассмотрим один из них, наиболее наглядный: матрица Адамара может быть сформирована рекурсивным методом с помощью построения блочных матриц по следующей общей формуле:

 

Так может быть сформирована матрица Адамара длины  :

 
 
 
 

Каждая строка матрицы Адамара и является функцией Уолша.

В данном случае функции упорядочены по Адамару. Номер функции по Уолшу вычисляется из номера функции по Адамару путём перестановки битов в двоичной записи номера в обратном порядке с последующим преобразованием результата из кода Грея.

Пример

править
Номер по Уолшу Двоичная форма Преобразование из кода Грея Перестановка бит Номер по Адамару
0 000 000 000 0
1 001 001 100 4
2 010 011 110 6
3 011 010 010 2
4 100 110 011 3
5 101 111 111 7
6 110 101 101 5
7 111 100 001 1

В итоге получается матрица Уолша, в которой функции упорядочены по Уолшу:

 

Свойства

править

1. Ортогональность

править

Скалярное произведение двух разных функций Уолша равно нулю:

 

Пример

править

Допустим, что n = 1, k = 3 (см. выше). Тогда

 
 

2. Мультипликативность

править

Произведение двух функций Уолша даёт функцию Уолша:

 

где   — поразрядное сложение по модулю 2 номеров в двоичной системе.

Пример

править

Допустим, что n = 1, k = 3. Тогда

 

В результате умножения получим:

 

Преобразование Уолша — Адамара

править

Является частным случаем обобщённого преобразования Фурье, в котором базисом выступает система функций Уолша.

Обобщённый ряд Фурье представляется формулой

 

где   это одна из базисных функций, а   — коэффициент.

Разложение сигнала по функциям Уолша имеет вид

 

В дискретной форме формула запишется следующим образом:

 

Определить коэффициенты   можно, осуществив скалярное произведение раскладываемого сигнала на соответствующую базисную функцию Уолша:

 

Следует учитывать периодический характер функций Уолша.

Существует также быстрое преобразование Уолша[1]. Оно является в значительной степени более эффективным, чем преобразование Уолша — Адамара[2]. Кроме того, для частного случая с двумя переменными функции Уолша обобщены как поверхности[3]. Также существуют восемь аналогичных функциям Уолша базисов ортогональных бинарных функций[4], отличающихся нерегулярной структурой, которые также обобщены на случай функций двух переменных. Для каждого из восьми базисов доказано представление «ступенчатых» функций в виде конечной суммы бинарных функций, взвешиваемых с соответствующими коэффициентами[5].

Литература

править
  • Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. — М.: Высшая школа, 2005. — ISBN 5-06-003843-2.
  • Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша: теория и применения. — М.: Наука, 1987.
  • Залманзон Л. А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. — М.: Наука, 1989. — ISBN 5-02-014094-5.

См. также

править

Примечания

править