Сходимость почти всюду

Последовательность функций сходится почти всюду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, имеет нулевую меру[1].

ОпределениеПравить

Пусть   — пространство с мерой, и  . Говорят, что   сходится почти всюду, и пишут    -п.в., если[1]

 .

Терминология теории вероятностейПравить

Если   есть вероятностное пространство, и   — случайные величины, такие что

 ,

то говорят, что последовательность   сходится почти наверное к  [2].

Свойства сходимости п.в.Править

  • Поточечная сходимость, очевидно, влечёт сходимость почти всюду.
  • Пусть  , где  , и   сходится почти всюду к  . Пусть также существует функция   такая, что   для всех   и почти всех   (суммируемая мажоранта). Тогда  , и   в  . Без априорного предположения о существовании суммируемой мажоранты из сходимости почти всюду (и даже всюду) не следует сходимости в  . Например, последовательность функций   сходится к 0 почти всюду на  , но не сходится в  .
  • Сходимость почти всюду влечёт сходимость по мере, если мера конечна. Для пространств с бесконечной мерой это неверно[3].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Дьяченко, Ульянов, 1998, с. 55 §13. Сходимость почти всюду.
  2. Математическая Энциклопедия, 1985, с. 313 Сходимость почти наверное.
  3. Дьяченко, Ульянов, 1998, с. 57 Теорема 13.2 (Пример Рисса).

ЛитератураПравить

  • Дьяченко М. И., Ульянов П. Л. Мера и интеграл. — М.: «Факториал», 1998.
  • Математическая Энциклопедия / И.М. Виноградов. — 1985. — Т. 5 (Случайная величина — Ячейка).