Сходимость почти всюду

Последовательность функций сходится почти всюду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, имеет нулевую меру.

Определение

Пусть $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ — пространство с мерой, и $f_{n},f:X\to \mathbb {R} ,\;n\in \mathbb {N}$. Говорят, что $\{f_{n}\}$ сходится почти всюду, и пишут $f_{n}\to f$ $\mu$-п.в., если

$\mu \left(\{x\in X\mid \lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\not =f(x)\}\right)=0$.

Терминология теории вероятностей

Если $(X,{\mathcal {F}},\mu )=(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ есть вероятностное пространство, и $Y_{n},Y$ — случайные величины, такие что

$\mathbb {P} \left(\{\omega \in \Omega \mid \lim \limits _{n\to \infty }Y_{n}(\omega )=Y(\omega )\}\right)=1$,

то говорят, что последовательность $\{Y_{n}\}$ сходится почти наверное к $Y$.

Свойства сходимости п.в.

• Поточечная сходимость, очевидно, влечёт сходимость почти всюду.
• Пусть $f_{n}\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )\;\forall n\in \mathbb {N}$, где $1\leq p<\infty$, и $\{f_{n}\}$ сходится почти всюду к $f$. Пусть также существует функция $g\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )$ такая, что $|f_{n}(x)|\leq |g(x)|$ для всех $n$ и почти всех $x\in X$ (суммируемая мажоранта). Тогда $f\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )$, и $f_{n}\to f$ в $L^{p}$. Без априорного предположения о существовании суммируемой мажоранты из сходимости почти всюду (и даже всюду) не следует сходимости в $L^{p}$. Например, последовательность функций $n\chi _{[0,1/n]}$ сходится к 0 почти всюду на $[0,1]$, но не сходится в $L^{1}[0,1]$.
• Сходимость почти всюду влечёт сходимость по мере, если мера конечна. Для пространств с бесконечной мерой это неверно.

См. также

• Почти всюду