Правило Лопиталя
Теорема Лопита́ля (также правило Бернулли — Лопиталя[1]) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Точная формулировкаПравить
Теорема Лопиталя:
Если: — действительнозначные функции, дифференцируемые в проколотой окрестности точки , где — действительное число или один из символов , причём
- или ;
- в ;
- существует ;
тогда существует .
Пределы также могут быть односторонними.
ИсторияПравить
Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли.[2]
ПримерыПравить
-
Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, но можно поступить иначе. Необходимо разделить и числитель, и знаменатель на в наибольшей степени(в нашем случае ). В этом примере получается: - — применение правила раз;
- при ;
- .
СледствиеПравить
Простое, но полезное следствие правила Лопиталя — признак дифференцируемости функций, состоит в следующем:
Пусть функция дифференцируема в проколотой окрестности точки , а в самой этой точке она непрерывна и имеет предел производной . Тогда функция дифференцируема и в самой точке , и (то есть, производная непрерывна в точке ).
Для доказательства достаточно применить правило Лопиталя к отношению .
См. такжеПравить
Аналогом правила Лопиталя для последовательностей вещественных чисел является Теорема Штольца.
ПримечанияПравить
- ↑ Архивированная копия . Дата обращения: 14 декабря 2010. Архивировано 6 февраля 2009 года.
- ↑ Paul J. Nahin, An Imaginary Tale: The Story of , p.216