Теорема Лопита́ля (также правило Бернулли — Лопиталя[1]) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Точная формулировка

править

Теорема Лопиталя:

Если:   — действительнозначные функции, дифференцируемые в проколотой окрестности   точки  , где   — действительное число или один из символов  , причём

  1.   или  ;
  2.   в  ;
  3. существует  ;

тогда существует  .

Пределы также могут быть односторонними.

История

править

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли[3].

Примеры

править
  •  
  •  
    Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, но можно поступить иначе. Необходимо разделить и числитель, и знаменатель на   в наибольшей степени(в нашем случае  ). В этом примере получается:
     
  •   — применение правила   раз;
  •   при  ;
  •  .

Контрпример

править

В некоторых ситуациях правило Лопиталя может не дать ожидаемого результата, так как существование предела отношения производных   не вытекает из существования предела отношения самих функций. Пример[4]:

отношение   имеет предел в бесконечности (единица), но у отношения производных предела нет.

Следствие

править

Простое, но полезное следствие правила Лопиталя — признак дифференцируемости функций, состоит в следующем:

Пусть функция   дифференцируема в проколотой окрестности точки  , а в самой этой точке она непрерывна и имеет предел производной  . Тогда функция   дифференцируема и в самой точке  , и   (то есть, производная   непрерывна в точке  ).

Для доказательства достаточно применить правило Лопиталя к отношению  .

См. также

править

Аналогом правила Лопиталя для последовательностей вещественных чисел является Теорема Штольца.

Примечания

править
  1. Архивированная копия. Дата обращения: 14 декабря 2010. Архивировано 6 февраля 2009 года.
  2. Фихтенгольц, 1966, с. 314—316.
  3. Paul J. Nahin, An Imaginary Tale: The Story of  , p.216
  4. Когда нельзя применять правило Лопиталя на YouTube

Литература

править
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. I. — 680 с. — ISBN 5-9221-0156-0.