Открыть главное меню

Правило Лопиталя

Теорема Лопита́ля (также правило Бернулли — Лопиталя[1]) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Точная формулировкаПравить

Теорема Лопиталя:

Если:   - действительнозначные функции, дифференцируемые в проколотой окрестности   точки  , где   - действительное число или один из символов  , причём

  1.   или  ;
  2.   в  ;
  3. существует  ;

тогда существует  .

Пределы также могут быть односторонними.

ИсторияПравить

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли.[2]

ПримерыПравить

  •  
  •  
    Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, но можно поступить иначе. Необходимо разделить и числитель, и знаменатель на   в наибольшей степени(в нашем случае  ). В этом примере получается:
     
  •   — применение правила   раз;
  •   при  ;
  •  .

СледствиеПравить

Простое, но полезное следствие правила Лопиталя - признак дифференцируемости функций, состоит в следующем:

Пусть функция   дифференцируема в проколотой окрестности точки  , а в самой этой точке она непрерывна и имеет предел производной  . Тогда функция   дифференцируема и в самой точке  , и   (то есть, производная   непрерывна в точке  ).

Для доказательства достаточно применить правило Лопиталя к отношению  .

Смотри такжеПравить

Аналогом правила Лопиталя для последовательностей вещественных чисел является Теорема Штольца.

ПримечанияПравить

  1. http://lib.mexmat.ru/pr/matan_gavr_1.pdf
  2. Paul J. Nahin, An Imaginary Tale: The Story of  , p.216