Рассмотрим случай . Отложим этот угол на единичной окружности так, чтобы его вершина совпадала с началом координат, а одна сторона совпадала с осью . Пусть — точка пересечения второй стороны угла с единичной окружностью, а точка — с касательной к этой окружности в точке . Точка — проекция точки на ось .
Очевидно, что:
(1)
(где — площадь сектора )
Поскольку :
Подставляя в (1), получим:
Так как при :
Умножаем на :
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел (так как функция четна, в этом нет необходимости, достаточно доказать это для правого предела):
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
С увеличением число положительных слагаемых в правой части равенства (1) увеличивается. Кроме того, при увеличении число убывает, поэтому величины возрастают. Поэтому последовательность — возрастающая, при этом
(2).
Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство
Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:
.
Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:
.
Поэтому (3).
Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3): .
Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность монотонно возрастает и ограничена, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е.
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что
. Рассмотрим два случая:
1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x.
Отсюда следует: , поэтому
.
Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:
.
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .
2. Пусть . Сделаем подстановку , тогда
.
Очевидно, из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.