Предельная точка

Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.

Определение и типы предельных точекПравить

Точка   называется предельной точкой подмножества   в топологическом пространстве  , если всякая проколотая окрестность точки   имеет с   непустое пересечение.

Точка   называется точкой накопления подмножества  , если всякая окрестность точки   имеет с   бесконечное число общих точек. Для T1-пространств (то есть пространств, у которых все точки (одноточечные множества) замкнуты, понятия предельная точка и точка накопления равносильны.

Точка   называется точкой конденсации подмножества  , если всякая окрестность точки   содержит несчётное множество точек  .

Точка   называется точкой полного накопления подмножества  , если для всякой окрестности   точки   мощность пересечения   равна мощности множества  .

Связанные понятия и свойстваПравить

  • Точка   называется точкой прикосновения подмножества   в топологическом пространстве  , если всякая окрестность точки   имеет с   непустое пересечение. Множество всех точек прикосновения множества   составляет его замыкание  .
  • Изолированной называется такая точка  , у которой есть окрестность, не имеющая с   других общих точек, кроме  . Подмножество в  , состоящее из одной этой точки, является открытым в  индуцированной топологии).
  • Таким образом, все точки прикосновения любого множества   (то есть точки замыкания  ) делятся на два вида: предельные и изолированные точки  . Вторые составляют подмножество  , первые же могут как принадлежать, так и не принадлежать ему.
  • Совокупность всех предельных точек множества   называется его произво́дным мно́жеством и обозначается  . Все предельные точки множества входят в его замыкание  . Более того, справедливо равенство:  , из которого легко получается следующий критерий замкнутости подмножеств: Множество A замкнуто тогда и только тогда, когда содержит все свои предельные точки.
  • Если   — предельная точка множества  , то существует направление точек из  , сходящееся к  .
  • В метрических пространствах, если   — предельная точка множества  , то существует последовательность точек из   сходящаяся к  . Топологические пространства, для которых выполняется это свойство, называются пространствами Фреше — Урысона.
  • Топологическое пространство   компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну точку полного накопления в  .
  • Топологическое пространство   счётно компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну строгую предельную точку в  . Всякий компакт счётно компактен. Для метрических пространств верно и обратное (критерий компактности метрического пространства): метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно счётно компактно.
(В частности, поскольку отрезок прямой компактен, то он счётно компактен. Следовательно, всякое бесконечное ограниченное подмножество прямой имеет хотя бы одну предельную точку.)

ПримерыПравить

  • Рассмотрим множество вещественных чисел   со стандартной топологией, порождённой открытыми интервалами. Тогда относительно этой топологии имеем:
    •  
    •   где   — множество рациональных чисел;
    •   где   — множество целых чисел;
  • Пусть   — первый несчётный ординал. Рассмотрим   — ординал   с порядковой топологией. Точка   является предельной точкой множества  , однако не существует последовательности из элементов этого множества, сходящейся к  .

Предельная точка числового множестваПравить

В частности, предельной точкой числового множества, имеющего бесконечное число элементов, называется точка числовой прямой, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этого множества. Также можно считать предельной точкой такого множества  , если из некоторых его элементов можно составить бесконечно большую последовательность с попарно различными отрицательными элементами. Если же можно составить бесконечно большую последовательность с попарно различными положительными элементами, то можно считать предельной точкой  [1].

Верхняя предельная точка числового множества — это наибольшая из его предельных точек.

Нижняя предельная точка числового множества — это наименьшая из его предельных точек.

СвойстваПравить

  • У любого ограниченного числового множества, имеющего бесконечное число элементов, существуют и верхняя, и нижняя предельные точки (в множестве вещественных чисел). Если добавить в множество вещественных чисел   и  , то в получившемся множестве предельные точки имеют вообще все числовые множества с бесконечным числом элементов.
  • Из элементов любого ограниченного числового множества, имеющего бесконечное число элементов, можно выделить сходящуюся последовательность, элементы которой попарно различны.

Предельная точка числовой последовательностиПравить

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности[1].

  — предельная точка последовательности  
 

Наибольшая предельная точка последовательности называется её верхним пределом, а наименьшая предельная точка — нижним пределом.

Иногда во множество возможных предельных точек включают « » и « ». Так, если из последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой отрицательны, то говорят, что « » является предельной точкой этой последовательности. Если же из последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность с исключительно положительными элементами, то говорят, что « » является её предельной точкой[1]. При этом, разумеется, у последовательности могут быть и другие предельные точки.

СвойстваПравить

  • Точка является предельной точкой последовательности тогда и только тогда, когда из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к этой точке (то есть точка является частичным пределом последовательности).
      — предельная точка последовательности  
    Иногда это свойство принимают за определение, а приведённое выше определение — за свойство.
  • Всякая сходящаяся числовая последовательность имеет только одну предельную точку.
      — предельные точки последовательности  
  • Предельная точка любой сходящейся числовой последовательности совпадает с её пределом.
      — предельная точка последовательности  
  • Для любого конечного множества точек можно построить последовательность, для которой эти точки будут являться предельными и никакие, кроме них.
  • У произвольной числовой последовательности имеется хотя бы одна предельная точка (либо вещественная, либо бесконечность).

ПримерыПравить

  • У последовательности из единиц   существует единственная предельная точка 1 (хотя она не является предельной точкой множества значений элементов последовательности, состоящего из одного элемента).
  • У последовательности   существует единственная предельная точка 0.
  • У последовательности натуральных чисел   нет предельных точек (или, в других терминах, имеется предельная точка  ).
  • У последовательности   существуют две предельные точки: −1 и +1.
  • У последовательности из всех рациональных чисел  , занумерованных произвольным образом, существует бесконечно много предельных точек.

Предельная точка направленияПравить

Пусть   — направление элементов топологического пространства  . Тогда   называется предельной точкой направления, если для любой окрестности   точки   и для любого   найдётся индекс   такой что   и  

СвойстваПравить

  • Точка является предельной точкой направления тогда и только тогда, когда существует поднаправление, сходящееся к этой точке.
    • В частности, точка является предельной точкой последовательности тогда и только тогда, когда существует поднаправление, сходящееся к этой точке.
    • Если каждая точка топологического пространства обладает счётной базой, то в предыдущем пункте можно говорить о подпоследовательностях.

ПримерыПравить

Пусть   — направлено по возрастанию. У направления   существует единственная предельная точка   в топологическом пространстве  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 92—105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

ЛитератураПравить