Теорема Каратеодори о выпуклой оболочке

Теорема Каратеодори о выпуклой оболочке утверждает, что для любой точки выпуклой оболочки подмножества евклидового пространства найдётся содержащий её невырожденный симплекс с вершинами в этом подмножестве.

Формулировка теоремы

Пусть $A$ — компакт в $m$-мерном евклидовом пространстве. Тогда любая точка $x$ в выпуклой оболочке $A$ является выпуклой комбинацией не более чем $m+1$ точек множества $A$. То есть

$\operatorname {Conv} A=\left\{x\in \mathbb {R} ^{m}:x=\sum _{i=1}^{m+1}\lambda _{i}x_{i},\quad x_{i}\in A,\quad \lambda _{i}\geqslant 0,\quad \sum _{i=1}^{m+1}\lambda _{i}=1,\quad i=1,\ 2,\ \dots ,\ m+1\right\}$

Связанные результаты

• В случае, когда одна из координат точки $x\in \operatorname {Conv} A$ достигает экстремального значения (для множества A), эта точка может быть представлена как выпуклая комбинация не более чем m точек A.

• С теоремой Каратеодори о выпуклой оболочке связана также теорема Хелли.

• Выпуклая оболочка компактного множества компактна. Это утверждение также иногда называется теоремой Каратеодори.

Литература

• Юдин Д. Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. — М.: «Советское радио», 1974. — 400 с.