Открыть главное меню

Выпуклой оболочкой множества называется наименьшее выпуклое множество, содержащее . «Наименьшее множество» здесь означает наименьший элемент по отношению к вложению множеств, то есть такое выпуклое множество, содержащее данную фигуру, что оно содержится в любом другом выпуклом множестве, содержащем данную фигуру.

Обычно выпуклая оболочка определяется для подмножеств векторного пространства над вещественными числами (в частности в евклидовом пространстве) и на соответствующих аффинных пространствах.

Выпуклая оболочка множества обычно обозначается .

ПримерПравить

 
Выпуклая оболочка: пример с лассо

Представьте себе доску, в которую вбито — но не по самую шляпку — много гвоздей. Возьмите верёвку, свяжите на ней скользящую петлю (лассо) и набросьте её на доску, а потом затяните. Верёвка окружает все гвозди, но касается она только некоторых, самых внешних. Те гвозди, которых она касается, составляют выпуклую оболочку для всей группы гвоздей[1].

СвойстваПравить

  •   — выпуклое множество тогда и только тогда, когда  .
  • Для произвольного подмножества линейного пространства   существует единственная выпуклая оболочка   — это пересечение всех выпуклых множеств, содержащих  .
    • При этом
       
    • Более того, если размерность пространства равна   то верна следующая теорема Каратеодори:
       
  • Выпуклой оболочкой конечного набора точек на плоскости является выпуклый плоский многоугольник (в вырожденных случаях — отрезок или точка), причём его вершины являются подмножеством исходного набора точек. Аналогичный факт верен и для конечного набора точек во многомерном пространстве.
  • Выпуклая оболочка   равна пересечению всех полупространств, содержащих  .

Вариации и обобщенияПравить

Выпуклой оболочкой функции f называют такую функцию  , что

 ,

где epi f — надграфик функции f.

Стоит отметить связь понятия выпуклой оболочки функции с преобразованием Лежандра невыпуклых функций. Пусть f * — преобразование Лежандра функции f. Тогда если   —собственная функция (принимает конечные значения на непустом множестве), то

 


  — выпуклое замыкание f, то есть функция, надграфик которой является замыканием надграфика f.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
  • Прапарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение = Computational Geometry An introduction. — М.: Мир, 1989. — С. 478.
  • Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн, Клифорд. Глава 33. Вычислительная геометрия // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-e издание. — М.: «Вильямс», 2005. — ISBN 5-8459-0857-4.
  • Ласло М. Вычислительная геометрия и компьютерная графика на C++. — М.: БИНОМ, 1997. — С. 304.
  • Левитин А. В. Глава 3. Метод грубой силы: Поиск выпуклой оболочки // Алгоритмы. Введение в разработку и анализМ.: Вильямс, 2006. — С. 157. — 576 с. — ISBN 978-5-8459-0987-9
  • Г.Г. Магарил-Ильяев, В.М. Тихомиров. Выпуклый анализ и его приложения. Изд. 2-е, исправл. М.: Едиториал УРСС. 2003. 176 с. ISBN 5-354-0262-1.

ПримечанияПравить

  1. Даниэль Хэльпер, курс «Построение алгоритмов», Хайфский университет.