Алгоритм Грэхема

Алгоритм Грэхема — алгоритм построения выпуклой оболочки в двумерном пространстве. В этом алгоритме задача о выпуклой оболочке решается с помощью стека, сформированного из точек-кандидатов. Все точки входного множества заносятся в стек, а потом точки, не являющиеся вершинами выпуклой оболочки, со временем удаляются из него. По завершении работы алгоритма в стеке остаются только вершины оболочки в порядке их обхода против часовой стрелки.

Алгоритм

В качестве входных данных процедуры Graham выступает множество точек Q, где $|Q|\geqslant 3$ . В ней вызывается функция Top(S), которая возвращает точку, находящуюся на вершине стека S, не изменяя при этом его содержимое. Кроме того, используется также функция NextToTop(S), которая возвращает точку, расположенную в стеке S, на одну позицию ниже от верхней точки; стек S при этом не изменяется.

Graham(Q)
1) Пусть  $p_{0}$  — точка из множества Q с минимальной координатой y или самая левая из таких точек при наличии совпадений
2) Пусть  $<p_{1},p_{2},\ldots ,p_{m}>$  — остальные точки множества Q, отсортированные в порядке возрастания полярного угла,
      измеряемого против часовой стрелки относительно точки  $p_{0}$  
     (если полярные углы нескольких точек совпадают, то по расстоянию до точки  $p_{0}$ )
3) Push( $p_{0}$ ,S)
4) Push( $p_{1}$ ,S)
5) for i = 2 to m do
6)     while угол, образованный точками NextToTop(S),Top(S) и  $p_{i}$ , образуют не левый поворот
            (при движении по ломаной, образованной этими точками, мы движемся прямо или вправо)
7)       do Pop(S)
8)    Push( $p_{i}$ ,S)
9) return S

Для определения, образуют ли три точки $a$ , $b$ и $c$ левый поворот, можно использовать обобщение векторного произведения на двумерное пространство, а именно условие левого поворота будет выглядеть следующим образом: $u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x}\geqslant 0$ , где $u=\left\{b_{x}-a_{x},\;b_{y}-a_{y}\right\},v=\left\{c_{x}-b_{x},\;c_{y}-b_{y}\right\}$

Пример работы алгоритма Грэхема.

Корректность сканирования по Грэхему

Если процедура Graham обрабатывает множество точек Q, где $|Q|\geqslant 3$ , то по завершении этой процедуры стек S будет содержать (в направлении снизу вверх) только вершины оболочки CH(Q) в порядке обхода против часовой стрелки.

Доказательство

После выполнения строки 2 в нашем распоряжении имеется последовательность точек $<p_{1},p_{2},\ldots ,p_{m}>$ . Определим подмножество точек $Q_{i}=\left\{p_{0},p_{1},\ldots ,p_{i}\right\}$ при i = 2,3,…,m. Множество точек Q — $Q_{m}$ образуют те из них, что были удалены из-за того, что их полярный угол относительно точки p0 совпадает с полярным углом некоторой точки из множества $Q_{m}$ . Эти точки не принадлежат выпуклой оболочке CH(Q), так что CH( $Q_{m}$ ) = CH(Q). Таким образом, достаточно показать, что по завершении процедуры Graham стек S состоит из вершин оболочки CH( $Q_{m}$ ) в порядке обхода против часовой стрелки, если эти точки просматриваются в стеке снизу вверх. Заметим, что точно так же, как точки $p_{0}$ , $p_{1}$ , $p_{m}$ являются вершинами оболочки CH(Q), точки $p_{0}$ , $p_{1}$ , $p_{i}$ являются вершинами оболочки CH( $Q_{i}$ ).

В доказательстве используется сформулированный ниже инвариант цикла. В начале каждой итерации цикла for в строках 6-9 стек S состоит(снизу вверх) только из вершин оболочки CH( $Q_{i-1}$ ) в порядке их обхода против часовой стрелки.

Инициализация. При первом выполнении строки 6 инвариант поддерживается, поскольку в этот момент стек S состоит только из вершин $Q_{2}$ = $Q_{i-1}$ , и это множество трех вершин формирует свою собственную выпуклую оболочку. Кроме того, если просматривать точки снизу вверх, то они будут расположены в порядке обхода против часовой стрелки.

Сохранение. При входе в новую итерацию цикла for вверху стека S находится точка $p_{i-1}$ , помещенная туда в конце предыдущей итерации (или перед первой итерацией, когда i = 3). Пусть $p_{j}$ — верхняя точка стека S после выполнения строк 7-8 цикла while, но перед тем, как в строке 9 в стек будет помещена точка $p_{i}$ . Пусть также $p_{k}$ — точка, расположенная в стеке S непосредственно под точкой $p_{j}$ . В тот момент, когда точка $p_{j}$ находится наверху стека S, а точка $p_{i}$ ещё не добавлена, стек содержит те же точки, что и после j-й итерации цикла for. Поэтому, согласно инварианту цикла, в этот момент стек S содержит только CH( $Q_{j}$ ) в порядке их обхода против часовой стрелки, если просматривать их снизу вверх. Полярный угол точки $p_{i}$ относительно точки $p_{0}$ больше, чем полярный угол точки $p_{j}$ , и поскольку угол $p_{k}$ $p_{j}$ $p_{i}$ сворачивает влево(в противном случае точка $p_{j}$ была бы снята со стека), после добавления в стек S точки $p_{i}$ (до этого там были только вершины CH( $Q_{j}$ )) в нем будут содержаться вершины CH( $Q_{j}\cup \left\{p_{i}\right\}$ ). При этом они будут расположены в порядке обхода против часовой стрелки, если просматривать их снизу вверх.

Покажем, что множество вершин CH( $Q_{j}\cup \left\{p_{i}\right\}$ ) совпадает с множеством точек CH( $Q_{i}$ ). Рассмотрим произвольную точку $p_{t}$ , снятую со стека во время выполнения i-й итерации цикла for, и пусть $p_{r}$ — точка, расположенная в стеке S непосредственно под точкой $p_{t}$ перед снятием со стека последней(этой точкой pr может быть точка $p_{j}$ ). Угол $p_{r}$ $p_{t}$ $p_{i}$ не сворачивает влево, и полярный угол точки $p_{t}$ относительно точки $p_{0}$ больше полярного угла точки $p_{r}$ . Так как точка $p_{t}$ находится внутри треугольника, образованного тремя другими точками множества $Q_{i}$ , она не может быть вершиной CH( $Q_{i}$ ). Так как $p_{t}$ не является вершиной CH( $Q_{i}$ ), то CH( $Q_{i}$ — { $p_{t}$ }) = CH( $Q_{i}$ ). Пусть $P_{i}$ — множество точек, снятых со стека во время выполнения i-ой итерации цикла for. Верно равенство CH( $Q_{i}$ — $P_{i}$ ) = CH( $Q_{i}$ ). Однако $Q_{i}$ — $P_{i}$ = $Q_{i}$ $\cup$ { $p_{i}$ }, поэтому мы приходим к заключению, что CH( $Q_{j}$ $\cup$ { $p_{i}$ }) = CH( $Q_{i}$ — $P_{i}$ ) = CH( $Q_{i}$ ).

Сразу после вытеснения из стека S точки $p_{i}$ в нем содержатся только вершины CH( $Q_{i}$ ) в порядке их обхода против часовой стрелки, если просматривать их в стеке снизу вверх. Последующее увеличение на единицу значения i приведет к сохранению инварианта цикла в очередной итерации.

Завершение. По завершении цикла выполняется равенство i = m + 1, поэтому из инварианта цикла следует, что стек S состоит только из вершин CH( $Q_{m}$ ), то есть из вершин CH(Q). Эти вершины расположены в порядке обхода против часовой стрелки, если они просматриваются в стеке снизу вверх.

Время работы

Время работы процедуры Graham равно $O(N\log N)$ , где $N=|Q|$ . Как несложно показать, циклу while потребуется время O( $N$ ). В то время, как сортировка полярных углов займет $O(N\log N)$ времени, откуда и следует общая асимптотика процедуры Graham.

См. также

Литература

Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн. Алгоритмы. Построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-e изд. — “Вильямс”, 2005.

Ссылки