Открыть главное меню

Преобразование Лежандра для заданной функции  — это построение функции , двойственной ей по Юнгу. Если исходная функция была определена на векторном пространстве , её преобразованием Лежандра будет функция, определённая на сопряжённом пространстве , то есть на пространстве линейных функционалов на пространстве .

Содержание

МотивацияПравить

Возможная мотивация может быть выражена в виде менее общего определения. Преобразование Лежандра — это такая замена функции и переменной, при которой старая производная принимается за новую переменную, а старая переменная — за новую производную.

Выражение для дифференциала

 

в силу того, что  , может быть записано в виде

 

Если теперь принять, что

 

что и является преобразованием Лежандра  , тогда

 

При этом новая переменная   равна старой производной, а старая переменная   равна новой производной:

 

Определения могут отличаться знаком  . Если исходных переменных   больше, чем одна, преобразование Лежандра может быть осуществлено по любому подмножеству из них.

ОпределениеПравить

Аналитическое определениеПравить

Преобразованием Лежандра функции  , заданной на подмножестве   векторного пространства  , называется функция  , определенная на подмножестве   сопряжённого пространства   по формуле

 

где   — значение линейного функционала   на векторе  . В случае гильбертова пространства   — обычное скалярное произведение. В частном случае дифференцируемой функции, заданной в  , переход к сопряженной функции осуществляется по формулам

 

причем   нужно выразить через   из второго уравнения.

Геометрический смыслПравить

Для выпуклой функции   её надграфик     есть выпуклое замкнутое множество, границей которого является график функции  . Множество опорных гиперплоскостей к надграфику функции   есть естественная область определения её преобразованием Лежандра   Если   — опорная гиперплоскость (в нашем случае касательная) к надграфику, она пересекает ось   в некоторой единственной точке. Её  -координата, взятая со знаком минус, и есть значение функции  .

Соответствие   определено однозначно в области, где функция   дифференцируема. Тогда   — касательная гиперплоскость к графику   в точке  . Обратное соответствие   определено однозначно тогда и только тогда, когда функция   строго выпукла. В этом случае   — единственная точка касания опорной гиперплоскости   с графиком функции  

Если функция   дифференцируема и строго выпукла, определено соответствие   сопоставляющее гиперплоскости   дифференциал функции   в точке  . Это соответствие взаимно однозначно и позволяет перенести область определения функции   в пространство ковекторов   которыми являются дифференциалы функции  .

В общем случае произвольной невыпуклой функции геометрический смысл преобразования Лежандра сохраняется. В силу опорного принципа, выпуклая оболочка надграфика   является пересечением полупространств, задаваемых всеми опорными гиперплоскостями, поэтому для преобразования Лежандра существенна лишь выпуклая оболочка надграфика  . Таким образом, случай произвольной функции легко сводится к случаю выпуклой. Функция даже не обязана быть дифференцируемой или непрерывной, её преобразование Лежандра все равно будет выпуклой полунепрерывной снизу функцией.

СвойстваПравить

  1. Теорема Фенхеля — Моро: для собственной выпуклой полунепрерывной снизу функции f, заданной на рефлексивном пространстве, преобразование Лежандра является инволютивным, то есть  . Легко убедиться, что если выпуклым замыканием функции f является функция g, то f*=g*. Отсюда следует, что для невыпуклой функции, выпуклое замыкание которой — собственная функция,
     ,
    где   — выпуклое замыкание функции f.
  2. Непосредственно из аналитического определения следует неравенство Юнга — Фенхеля:
     , причём равенство достигается, только если p = F'(x).
    (Часто неравенством Юнга называют частный случай этого неравенства для функции F(x)= , a>1).
  3. В вариационном исчислении (и основанной на нём лагранжевой механике) преобразование Лежандра обычно применяется к лагранжианам действия   по переменной  . Образом лагранжиана становится гамильтониан действия H(t, x,p), а уравнения Эйлера-Лагранжа для оптимальных траекторий преобразуются в уравнения Гамильтона.
  4. Используя тот факт, что  , легко показать, что  

ПримерыПравить

Степенная функцияПравить

Рассмотрим преобразование Лежандра функции  , ( ,  ), определённой на  . В случае четного n можно рассматривать  .

 

Отсюда выражаем  , получаем

 

Итого получаем преобразование Лежандра для степенной функции:

 

Легко проверить, что повторное преобразование Лежандра дает исходную функцию  .

Функция многих переменных.Править

Рассмотрим функцию многих переменных, определённую на пространстве   следующего вида:

 

  действительная, положительно определённая матрица,   константа. Прежде всего убедимся, что сопряженное пространство, на котором определено преобразование Лежандра, совпадает с  . Для этого нам нужно убедиться в существовании экстремума функции  

 
 

В силу положительной определённости матрицы  , мы получаем, что точка экстремума является максимумом. Таким образом для каждого   существует супремум. Вычисление преобразования Лежандра проводится непосредственно:

 

ПримененияПравить

Гамильтонова механика.Править

В лагранжевой механике система описывается функцией Лагранжа. Для типичной задачи функция Лагранжа выглядит следующим образом:

 

  , со стандартными, евклидовым скалярным произведением. Матрица   считается действительной, положительно определённой. В том случае, когда лагранжиан не вырожден по скоростям, то есть

 

можно сделать преобразование Лежандра по скоростям и получить новую функцию, называемую гамильтонианом:

 

ТермодинамикаПравить

В термодинамике очень часто встречаются самые разные термодинамические функции, дифференциал которых выглядит в самом общем случае как:

 

К примеру, дифференциал для внутренней энергии выглядит следующим образом:

 

Энергия тут представлена как функция переменных  ,  . Подобные переменные называются естественными. Например, свободная энергия получается как преобразования Лежандра внутренней энергии:

 
 

В общем случае, если мы хотим перейти от функции   к функции  , то следует сделать преобразование Лежандра:

 
 

Теория поля. Функциональное преобразование Лежандра.Править

В квантовой теории поля очень часто используется функциональное преобразование Лежандра. Исходным объектом являются связные функции Грина, которые обозначаются  , где   — некоторые внешние поля. Преобразованием Лежандра по полю А называют следующую функцию[1]:

 

Знак интегрирование обычно не пишут.   определяется следующим выражением[1]:

 

  означает вариационную производную. При помощи свойства вариационной производной несложно вывести следующее соотношение, связывающее   и  . Действительно:

 

Другими словами, функционалы   и   , с точностью до знака, являются обратными друг к другу. Символически это записывают следующим образом:

 

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. — Ленинград, 1976. — С. 81. — 295 с.

ЛитератураПравить

  • Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
  • Васильев А. Н. Функциональные методы квантовой теории поля и статистики». —1976. — 295 с.