Надграфик

Надгра́фик (эпиграф) — множество точек, лежащих над графиком данной функции.

Формально, для функции $f:M\to \mathbb {R}$ надграфиком называется множество:

\operatorname {epi} f\equiv {\bigl \{}(x,y)\in M\times \mathbb {R} \mid y\geqslant f(x){\bigr \}}

.

Надграфик включает в себя график функции $f$ , то есть $\operatorname {epi} f\supset \Gamma ,$ где:

\Gamma \equiv \left\{{\bigl (}x,f(x){\bigr )}\in M\times \mathbb {R} \mid x\in M\right\}

Надграфик функции является выпуклым множеством тогда и только тогда, когда она сама является выпуклой.

Надграфик функции является замкнутым множеством тогда и только тогда, когда сама функция является полунепрерывной снизу.

Двойственное понятие — подграфик (гипограф), для функции $f:M\to \mathbb {R}$ определяется как множество точек, лежащих под графиком:

\operatorname {hyp} f\equiv {\bigl \{}(x,y)\in M\times \mathbb {R} \mid y\leqslant f(x){\bigr \}}

.

Литература

Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. — Новосибирск: Издательство Института математики, 2000. — 336 с.
Rockafellar, R. Tyrrell. Variational Analysis / R. Tyrrell Rockafellar, Roger J.-B. Wets. — Springer Science & Business Media, 26 June 2009. — Vol. 317. — ISBN 9783642024313.
Rockafellar, Ralph Tyrell (1996), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, NJ. ISBN 0-691-01586-4.