Нера́венство Ю́нга — элементарное неравенство, используемое в доказательстве неравенства Гёльдера. Является частным случаем более общего неравенства Юнга — Фенхеля.

Формулировка править

Пусть   и   — сопряженные показатели (то есть такие числа, что  ). Тогда

 .

Равенство достигается в том и только том случае, когда  .

Доказательство править

Для   или   неравенство очевидно. Для  ,   неравенство следует из выпуклости вверх логарифмической функции: для любых  ,  

 .

Положив в этом неравенстве  , получим, что

 ,

откуда следует неравенство Юнга.

Альтернативный вариант править

Можно показать, что неравенство Юнга является частным случаем неравенства Юнга — Фенхеля, которое для скалярной функции записывается в виде:

 

где   — преобразование Лежандра от функции  . Если положить  , то преобразование Лежандра в точке   даёт

 

где  . Подставляя полученное в исходное неравенство, получаем искомый результат.

См. также править