Неравенство Юнга

Нера́венство Ю́нга в математике — элементарное неравенство, используемое в доказательстве неравенства Гёльдера. Является частным случаем более общего неравенства Юнга — Фенхеля.

ФормулировкаПравить

Пусть   и   — сопряженные показатели (то есть такие числа, что  ). Тогда

 .

ДоказательствоПравить

Для   или   неравенство очевидно. Для  ,   неравенство следует из выпуклости вверх (это свойство называется также вогнутостью) логарифмической функции: для любых  ,  

 .

Положив в этом неравенстве   получим, что

 ,

которое равносильно неравенству Юнга.

Альтернативный вариантПравить

Доказательство, как частный случай неравенства Юнга — Фенхеля. Для скалярной функции неравенство Юнга — Фенхеля записывается в виде:

 ,

где   есть преобразование Лежандра от функции  .

Если положить  , то преобразование Лежандра в точке   даёт

 ,

где  . Подставляя полученное в исходное неравенство, получаем искомый результат.

ЗамечаниеПравить

Равенство достигается в том и только том случае, когда  .

См. такжеПравить