Открыть главное меню

Неравенство Гёльдера

ФормулировкаПравить

Пусть   — пространство с мерой, а   — пространство функций вида   с конечной интегрируемой  ‑ой степенью. Тогда в последнем определена полунорма:

 ,

где   , обычно подразумевается, что это натуральное число.

Пусть  , а  , где  . Тогда  , и

 .

ДоказательствоПравить

Переформулируем неравенство Гёльдера, выразив нормы через соответствующие интегралы.
Пусть   — пространство с мерой  ,  ,   измеримо. Тогда:
 
Для доказательства воспользуемся следующим утверждением (неравенство Юнга):
 

Положим
 

Применяя неравенство, получаем:
 

Заметим, что правая часть неравенства суммируема по множеству   (отсюда вытекает и суммируемость левой части). Интегрируя неравенство по  , получаем:
 
Неравенство Гельдера доказано.
Примечание: Если   или   равен 0, то это значит, что   или   эквивалентны нулю на  , и неравенство Гёльдера очевидно выполняется.

Частные случаиПравить

Неравенство Коши — БуняковскогоПравить

Положив  , получаем неравенство Коши — Буняковского для пространства  .

Евклидово пространствоПравить

Рассмотрим Евклидово пространство   или  .  -норма в этом пространстве имеет вид:

 ,

и тогда

 .

Пространство lpПравить

Пусть   — счётная мера на  . Тогда множество всех последовательностей  , таких что:

 ,

называется  . Неравенство Гёльдера для этого пространства имеет вид:

 .

Вероятностное пространствоПравить

Пусть   — вероятностное пространство. Тогда   состоит из случайных величин с конечным  моментом:  , где символ   обозначает математическое ожидание. Неравенство Гёльдера в этом случае имеет вид:

 .

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — 3-е изд., переработанное и дополненное. — М: Наука, 1988. — 336 с. — ISBN 5-02-013756-1.
  • Вулих Б.З. Краткий курс теории функции вещественной переменной. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М: Наука, 1973. — 352 с.