Производящий функционал

Производящий функционал — расширение понятия производящей функции моментов для одномерного / конечномерного распределения Гаусса на континуальное распределение Гаусса.

Определение

Производящий функционал корреляционных функций $G(A)$ определяется следующим образом:

$G(A)=\langle \exp \left\{\int \limits _{\Omega }\!\mathrm {d} X\,A_{I}(X)\varphi _{I}(X)\right\}\rangle ,$

где $\langle \ldots \rangle$ — усреднение по ансамблю. Без сокращений определение производящего функционала для нормированного на 1 континуального распределения Гаусса с квадратичной формой $K$ выглядит следующим образом:

$G(A)=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{1/2}\cdot \int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)+\left(A,\varphi \right)\right\}$.

Однако же, обычно это определение записывают в сокращённом виде, опуская значки и интегрирования:

$G(A)=\langle e^{A\varphi }\rangle .$

Связь корреляционных функций с производящим функционалом

Поскольку определение корреляционных функций выглядит следующим образом:

$G_{n}(X_{1},X_{2},\dots X_{n})=\langle \varphi (X_{1})\varphi (X_{2})\dots \varphi (X_{n})\rangle ,$

связь между производящим функционалом и корреляционными функциями получается:

$G_{n}(X_{1},X_{2},\dots X_{n})=\left[{\frac {\delta }{\delta A(X_{1})}}{\frac {\delta }{\delta A(X_{2})}}\dots {\frac {\delta }{\delta A(X_{n})}}G(A)\right]_{A=0},$

где ${\frac {\delta }{\delta A}}$ — вариационная производная. Данная формула является полной аналогией формулы вычисления моментов через производящую функцию моментов для конечномерного распределения Гаусса.

Вычисление корреляционных функций

Для континуальных интегралов выполняется следующая формула:

$\int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)+\left(A,\varphi \right)\right\}=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{-1/2}\exp \left\{{\frac {(A,K^{-1}A)}{2}}\right\}$.

Видно, что её левая часть — определение (с точностью до нормировки) производящего функционала $G(A)$. Тогда для парной корреляционной функции получим

$G_{2}(X_{1},X_{2})=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{1/2}\cdot \left[{\frac {\delta }{\delta A(X_{1})}}{\frac {\delta }{\delta A(X_{2})}}\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{-1/2}\exp \left\{{\frac {(A,K^{-1}A)}{2}}\right\}\right]_{A=0}=K^{-1}(X_{1},X_{2}).$

То есть

$G_{2}(X_{1},X_{2})=\langle \varphi (X_{1})\varphi (X_{2})\rangle =K^{-1}(X_{1},X_{2}).$

Другие виды производящих функционалов

Ясно, что определённый так как приведено выше функционал

$G(A)=\langle e^{A\varphi }\rangle$

сохранит производящие свойства и для других распределений не зависящих от параметра $A$. Поскольку существует целый класс физических теорий, плотность распределения $\rho [\varphi ]$ в которых задаётся «почти квадратичным» функционалом действия $S[\varphi ]$:

$\rho [\varphi ]=C\cdot e^{-S[\varphi ]},$

$S[\varphi ]={\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)+V[\varphi ],$

где $V[\varphi ]$ — мало, для них определяются собственные производящие функционалы с разным физическим смыслом. Они называются производящими функционалами функций Грина. Среди них: производящий функционал полных функций Грина

$G(A)={\frac {\int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\exp \left\{-S[\varphi ]+\left(A,\varphi \right)\right\}}{\int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)\right\}}},$

связных функций Грина

$W(A)=\ln G(A),$

и 1-неприводимых функций Грина

$\Gamma (\alpha )=W(A(\alpha ))-\alpha A,\ \alpha (x)={\frac {\delta W(A)}{\delta A(x)}}.$

Свои названия они получили из-за того, что их разложение согласно теории возмущений по малому параметру (т. н. константе связи) $g\sim V[\varphi ]$ в диаграммном представлении состоит для $G(A)$ из всех возможных для данной теории диаграмм, для $W(A)$ только из связных, а для $\Gamma (\alpha )$ только из 1-неприводимых.

См. также

• Теорема Вика для функционального интеграла
• Континуальное распределение Гаусса
• Функциональный интеграл

Литература

• Васильев А.Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — Издательство Петербургского института ядерной физики (ПИЯФ), 1998. — ISBN 5-86763-122-2.