Континуальное распределение Гаусса
Континуальное распределение Гаусса было введено в квантовой теории поля как расширение понятия распределения Гаусса для конечномерных векторов на континуальные пространства скалярных и векторных полей. Континуальное распределение активно используется в аппарате функциональных интегралов.
Определение
правитьРассмотрим поле из некоторого пространства , определяемого условиями задачи (как правило, задача определяет условия вроде гладкости и убывания на бесконечности). В общем случае имеет произвольное количество значков и аргументов. Обозначив множество значков поля как , а набор аргументов как , нормальной (Гауссовой) плотностью распределения назовём функционал
,
![{\displaystyle \rho \left[\varphi \right]=C\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\iint \limits _{\Omega ^{2}}\!\mathrm {d} X_{1}\,\mathrm {d} X_{2}\,\varphi _{I_{1}}(X_{1})\cdot K_{I_{1},I_{2}}(X_{1},X_{2})\cdot \varphi _{I_{2}}(X_{2})\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df90230b065fce148f45dfb81b6aa7560d2c8a09)
где — область определения аргументов поля , по наборам значков и подразумевается суммирование, — ядро некоторого дифференциально-интегрального оператора , а — нормировочная константа.
Это определение, как правило, записывают более коротко, опуская значки, аргументы и интегрирования:
.
![{\displaystyle \rho \left[\varphi \right]=C\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)\right\}=C\exp \left\{-{\frac {\varphi K\varphi }{2}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8079e0c665e981498992004c24282f2b0e24007)
Средние значения
правитьПусть мы хотим вычислить среднее значение некоторой величины (функции состояния) . Введём операцию усреднения
![{\displaystyle F[\varphi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2efa2888b17d414da8ac85ac12a7926e69ade1c)
![{\displaystyle \langle F\rangle =\int \limits _{E}\!{\mathcal {D}}\varphi \,\rho \left[\varphi \right]F[\varphi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def965106793053b60205b4a7712aa57c9639315)
В правой части выражения написан функциональный (континуальный) интеграл (подробнее см. Функциональный интеграл).
Вычисление континуальных Гауссовых интегралов
правитьДля континуальных Гауссовых интегралов работает обобщение формулы для n-мерных Гауссовых интегралов на континуальный случай:
.
![{\displaystyle \int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)+\left(A,\varphi \right)\right\}=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{-1/2}\exp \left\{{\frac {(A,K^{-1}A)}{2}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b88dd7586b1dd330e16e316ee72b6228ec15415b)
Условие и константа нормировки
правитьВводя условие нормировки
![{\displaystyle \int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\rho \left[\varphi \right]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b26db962bc5b4df0934f5e6e6c3700910c1023)
и используя формулу из предыдущего пункта, получим
.
![{\displaystyle C=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f758b76ab1854e42b36498d8bcc0d110e3b2a50f)
См. также
правитьЛитература
править- Ричард Филлипс Фейнман, Альберт Р. Хиббс. Квантовая механика и интегралы по траекториям. — Изд-во "Мир", 1968.