Теорема.
Пусть случайное поле
φ
(
X
)
{\displaystyle \varphi (X)}
континуальному распределению Гаусса с нулевым матожиданием, т.е.
⟨
φ
(
X
)
⟩
=
0
{\displaystyle \langle \varphi (X)\rangle =0}
φ
i
=
φ
(
X
i
)
{\displaystyle \varphi _{i}=\varphi (X_{i})}
⟨
φ
1
⋅
…
⋅
φ
N
⟩
=
∑
⟨
φ
i
1
φ
j
1
⟩
⋅
…
⋅
⟨
φ
i
N
/
2
φ
j
N
/
2
⟩
,
{\displaystyle \langle \varphi _{1}\cdot \ldots \cdot \varphi _{N}\rangle =\sum \langle \varphi _{i_{1}}\varphi _{j_{1}}\rangle \cdot \ldots \cdot \langle \varphi _{i_{N/2}}\varphi _{j_{N/2}}\rangle ,}
если
N
{\displaystyle N}
⟨
∏
i
∈
I
φ
i
⟩
=
0
,
{\displaystyle \langle \prod _{i\in I}\varphi _{i}\rangle =0,}
если
N
{\displaystyle N}
Под
⟨
φ
i
1
φ
j
1
⟩
⋅
…
⋅
⟨
φ
i
N
/
2
φ
j
N
/
2
⟩
{\displaystyle \langle \varphi _{i_{1}}\varphi _{j_{1}}\rangle \cdot \ldots \cdot \langle \varphi _{i_{N/2}}\varphi _{j_{N/2}}\rangle }
{
1
,
…
,
N
}
{\displaystyle \{1,\ldots ,N\}}
N
/
2
{\displaystyle N/2}
(
i
k
,
j
k
)
{\displaystyle (i_{k},j_{k})}
{
1
,
…
,
N
}
{\displaystyle \{1,\ldots ,N\}}
Для произведения 4 элементов:
⟨
φ
1
⋅
φ
2
⋅
φ
3
⋅
φ
4
⟩
=
⟨
φ
1
⋅
φ
2
⟩
⋅
⟨
φ
3
⋅
φ
4
⟩
+
⟨
φ
1
⋅
φ
3
⟩
⋅
⟨
φ
2
⋅
φ
4
⟩
+
⟨
φ
1
⋅
φ
4
⟩
⋅
⟨
φ
2
⋅
φ
3
⟩
{\displaystyle \langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\cdot \varphi _{3}\cdot \varphi _{4}\rangle =\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\rangle \cdot \langle \varphi _{3}\cdot \varphi _{4}\rangle +\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{3}\rangle \cdot \langle \varphi _{2}\cdot \varphi _{4}\rangle +\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{4}\rangle \cdot \langle \varphi _{2}\cdot \varphi _{3}\rangle }
Для произведения 6 элементов:
⟨
φ
1
⋅
φ
2
⋅
φ
3
⋅
φ
4
⋅
φ
5
⋅
φ
6
⟩
=
∑
⟨
φ
i
⋅
φ
j
⟩
⋅
⟨
φ
k
⋅
φ
l
⟩
⋅
⟨
φ
m
⋅
φ
n
⟩
{\displaystyle \langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\cdot \varphi _{3}\cdot \varphi _{4}\cdot \varphi _{5}\cdot \varphi _{6}\rangle =\sum \langle \varphi _{i}\cdot \varphi _{j}\rangle \cdot \langle \varphi _{k}\cdot \varphi _{l}\rangle \cdot \langle \varphi _{m}\cdot \varphi _{n}\rangle }
причём суммирование производится по всем возможным спариваниям
(
i
,
j
)
,
(
k
,
l
)
,
(
m
,
n
)
{\displaystyle (i,j),(k,l),(m,n)}
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
{\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}
(
1
,
3
)
,
(
2
,
5
)
,
(
4
,
6
)
{\displaystyle (1,3),(2,5),(4,6)}
(
1
,
5
)
,
(
2
,
4
)
,
(
3
,
6
)
{\displaystyle (1,5),(2,4),(3,6)}
Аналогично для случаев 8 и более элементов
Известно, что если Гауссова плотность распределения описывается формулой
ρ
[
φ
]
=
C
exp
{
−
φ
K
φ
2
}
{\displaystyle \rho \left[\varphi \right]=C\exp \left\{-{\frac {\varphi K\varphi }{2}}\right\}}
то
⟨
φ
1
⋅
φ
2
⟩
=
⟨
φ
(
X
1
)
⋅
φ
(
X
2
)
⟩
=
K
−
1
(
X
1
,
X
2
)
{\displaystyle \langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\rangle =\langle \varphi (X_{1})\cdot \varphi (X_{2})\rangle =K^{-1}(X_{1},X_{2})}
То есть любую корреляционную функцию
G
(
X
1
,
…
,
X
N
)
=
⟨
φ
(
X
1
)
,
…
,
φ
(
X
N
)
⟩
{\displaystyle G(X_{1},\ldots ,X_{N})=\langle \varphi (X_{1}),\ldots ,\varphi (X_{N})\rangle }
K
−
1
{\displaystyle K^{-1}}
G
(
X
1
,
X
2
,
X
3
,
X
4
)
=
K
−
1
(
X
1
,
X
2
)
⋅
K
−
1
(
X
3
,
X
4
)
+
K
−
1
(
X
1
,
X
3
)
⋅
K
−
1
(
X
2
,
X
4
)
+
K
−
1
(
X
1
,
X
4
)
⋅
K
−
1
(
X
2
,
X
3
)
{\displaystyle G(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})=K^{-1}(X_{1},X_{2})\cdot K^{-1}(X_{3},X_{4})+K^{-1}(X_{1},X_{3})\cdot K^{-1}(X_{2},X_{4})+K^{-1}(X_{1},X_{4})\cdot K^{-1}(X_{2},X_{3})}
Васильев А.Н. ISBN 5-86763-122-2 . 
![{\displaystyle \rho \left[\varphi \right]=C\exp \left\{-{\frac {\varphi K\varphi }{2}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cb070f297791dd71cc533a0aec572dd563beb05)
