Многомерное нормальное распределение

Пример выборки из многомерного нормального распределения в пределах 3 сигм двух частных распределений

Многоме́рное норма́льное распределе́ние (или многоме́рное га́уссовское распределе́ние) в теории вероятностей — это обобщение одномерного нормального распределения. Случайный вектор, имеющий многомерное нормальное распределение, называется гауссовским вектором[1].

ОпределенияПравить

Случайный вектор   имеет многомерное нормальное распределение, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

  • Произвольная линейная комбинация компонентов вектора   имеет нормальное распределение или является константой.
  • Существуют вектор независимых стандартных нормальных случайных величин  , вещественный вектор   и матрица   размерности  , такие что:
 .
 .

Плотность невырожденного нормального распределенияПравить

  • Если рассматривать только распределения с невырожденной ковариационной матрицей, то эквивалентным будет также следующее определение:
Существует вектор   и положительно определённая симметричная матрица   размерности  , такие что плотность вероятности вектора   имеет вид[2]::
 ,
где  определитель матрицы  , а   — матрица обратная к  


  • Вектор   является вектором средних значений  , а   — его ковариационная матрица.
  • В случае  , многомерное нормальное распределение сводится к обычному нормальному распределению.
  • Если случайный вектор   имеет многомерное нормальное распределение, то пишут  .

Двумерное нормальное распределениеПравить

Частным случаем многомерного нормального распределения является двумерное нормальное распределение. В этом случае имеем две случайные величины   с математическими ожиданиями  , дисперсиями   и ковариацией  . В этом случае ковариационная матрица имеет размер 2, ее определитель равен

 

где  коэффициент корреляции случайных величин.

Тогда плотность двумерного невырожденного (коэффициент корреляции по модулю не равен единице) нормального распределения можно записать в виде:

 .
В том случае, если   (т.е.   являются зависимыми), их сумма все еще распределена нормально, но в дисперсии появляется дополнительное слагаемое  :  .

Свойства многомерного нормального распределенияПравить

  • Если вектор   имеет многомерное нормальное распределение, то его компоненты   имеют одномерное нормальное распределение. Обратное верно при независимости компонентов[3].
  • Если случайные величины   имеют одномерное нормальное распределение и совместно независимы, то случайный вектор   имеет многомерное нормальное распределение. Матрица ковариаций   такого вектора диагональна.
  • Если   имеет многомерное нормальное распределение, и его компоненты попарно некоррелированы, то они независимы. Однако, если некоторые случайные величины   имеют одномерные нормальные распределения и попарно не коррелируют, то отсюда не следует, что они независимы и имеют многомерное нормальное распределение.
Пример. Пусть  , а   с равными вероятностями и независима от указанной нормальной величины. Тогда если  , то корреляция   и   равна нулю. Однако, эти случайные величины зависимы и в силу первого утверждения абзаца не имеют многомерного нормального распредедения.
  • Многомерное нормальное распределение устойчиво относительно линейных преобразований. Если  , а   — произвольная матрица размерности  , то
 
Таким преобразованием и сдвигом любое невырожденное нормальное распределение можно привести к вектору независимых стандартных нормальных величин.

Моменты многомерного нормального распределенияПравить

Пусть   — центрированные (с нулевым математическим ожиданием) случайные величины имеющие многомерное нормальное распределение, тогда моменты   для нечетных   равно нулю, а для четных   вычисляется по формуле

 

где суммирование осуществляется по всевозможным разбиениям индексов на пары. Количество множителей в каждом слагаемом равно  , количество слагаемых равно  

Например, для моментов четвертого порядка в каждом слагаемом по два множителя и общее количество слагаемых будет равно  . Соответствующая общая формула для моментов четвертого порядка имеет вид:

 

В частности если  

 

При  

 

При  

 

Условное распределениеПравить

Пусть случайные векторы   и   имеют совместное нормальное распределение с математическими ожиданиями  , ковариационными матрицами   и матрицей ковариаций  . Это означает, что объединенный случайный вектор   подчиняется многомерному нормальному распределению с вектором математического ожидания   и ковариационной матрицей, которую можно представить в виде следующей блочной матрицы

 ,

где  .

Тогда случайный вектор   при заданном значении случайного вектора   имеет (многомерное) нормальное условное распределение со следующим условным математическим ожиданием и условной ковариационной матрицей

 .

Первое равенство определяет функцию линейной регрессии (зависимости условного математического ожидания вектора   от заданного значения x случайного вектора  ), причем матрица   — матрица коэффициентов регрессии.

Условная ковариационная матрица представляет собой матрицу ковариаций случайных ошибок линейных регрессий компонентов вектора   на вектор  . В случае если   — обычная случайная величина (однокомпонентный вектор), условная ковариационная матрица — это условная дисперсия (по существу дисперсия случайной ошибки регрессии   на вектор  )

ПримечанияПравить

  1. А. Н. Ширяев. Вероятность. Том 1. МЦНМО, 2007.
  2. Гроот, 1974, с. 58-63.
  3. А.А.Новоселов. Избранное: нормальность совместного распределения. Современные риск-системы (28 марта 2014). Дата обращения 8 мая 2017.

ЛитератураПравить

  • М. де Гроот. Оптимальные статистические решения. — М.: Мир, 1974. — 492 с.