Производящая функция моментов

Производя́щая фу́нкция моме́нтов — способ задания вероятностных распределений. Используется чаще всего для вычисления моментов.

ОпределениеПравить

Пусть есть случайная величина   с распределением  . Тогда её производящей функцией моментов называется функция, имеющая вид:

 .

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение производящей функции моментов можно переписать в виде:

 ,

то есть производящая функция моментов — это двустороннее преобразование Лапласа плотности распределения случайной величины (с точностью до отражения).

Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величиныПравить

Если случайная величина   дискретна, то есть  , то

 .

Пример. Пусть   имеет распределение Бернулли. Тогда

 .

Если случайная величина   абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность  , то

 .

Пример. Пусть   имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда

 .

Свойства производящих функций моментовПравить

Свойства производящих функций моментов во многом аналогичны свойствам характеристических функций в силу похожести их определений.

  • Производящая функция моментов однозначно определяет распределение. Пусть   суть две случайные величины, и  . Тогда  . В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение функций вероятности.
  • Производящая функция моментов как функция случайной величины однородна:
 .
  • Производящая функция моментов суммы независимых случайных величин равна произведению их производящих функций моментов. Пусть   есть независимые случайные величины. Обозначим  . Тогда
 .

Вычисление моментовПравить

 .

См. такжеПравить