Преобразование Лапласа

Символы со сходным начертанием: L · Ⅼ · Լ · լ · ւ · ㄴ

Преобразова́ние Лапла́са (ℒ) — интегральное преобразование, связывающее функцию $\ F(s)$ комплексного переменного (изображение) с функцией $\ f(x)$ вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Определение

Прямое преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной $\ f(t)$ называется функция $\ F(s)$ комплексной переменной $s=\sigma +i\omega$, такая что:

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Функцию $f(t)$ называют оригиналом в преобразовании Лапласа, а функцию $F(s)$ называют изображением функции $f(t)$.

В литературе связь между оригиналом и изображением часто обозначают так: $f(t)\risingdotseq F(s)$ и $F(s)\fallingdotseq f(t)$, причём изображение принято записывать с заглавной буквы.

Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного $F(s)\$ называется функция $f(t)\$ вещественной переменной, такая что:

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{\omega \rightarrow \infty }\int \limits _{\sigma _{1}-i\omega }^{\sigma _{1}+i\omega }e^{st}F(s)\,ds,$

где $\sigma _{1}\$ — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

Двустороннее преобразование Лапласа

Основная статья: Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции $f(x)\$ участвуют значения $x<0$.

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

$F(s)={\mathcal {L}}\{f(x)\}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{-sx}f(x)\,dx.$

Дискретное преобразование Лапласа

Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.

Различают $D\$-преобразование и $Z\$-преобразование.

• $D\$-преобразование

Пусть $x_{d}(t)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }x(nT)\cdot \delta (t-nT)$ — решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени $nT\$, где $n\$ — целое число, а $T\$ — период дискретизации.

Тогда, применяя преобразование Лапласа, получим:

${\mathcal {D}}\{x_{d}(t)\}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }x(nT)\cdot e^{-snT}.$

• $Z\$-преобразование

Основная статья: Z-преобразование

Если применить следующую замену переменных:

$z=e^{sT},$

получим $Z$-преобразование:

${\mathcal {Z}}\{x_{d}(t)\}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }x(nT)\cdot z^{-n}.$

Свойства и теоремы

• Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при $\sigma =\sigma _{0}$, то есть существует предел

$\lim _{b\to \infty }\int \limits _{0}^{b}|f(x)|e^{-\sigma _{0}x}\,dx=\int \limits _{0}^{\infty }|f(x)|e^{-\sigma _{0}x}\,dx,$

то он сходится абсолютно и равномерно для $\sigma \geqslant \sigma _{0}$ и $F(s)$ — аналитическая функция при $\sigma \geqslant \sigma _{0}$ ($\sigma =\mathrm {Re} \,s$ — вещественная часть комплексной переменной $s$). Точная нижняя грань $\sigma _{a}$ множества чисел $\sigma$, при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции $f(x)$.

• Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа ${\mathcal {L}}\{f(x)\}$ существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

1. $\sigma \geqslant 0$: преобразование Лапласа существует, если существует интеграл $\int \limits _{0}^{\infty }|f(x)|\,dx$;
2. $\sigma >\sigma _{a}$: преобразование Лапласа существует, если интеграл $\int \limits _{0}^{x_{1}}|f(x)|\,dx$ существует для каждого конечного $x_{1}>0$ и $|f(x)|\leqslant Ke^{\sigma _{a}x}$ для $x>x_{2}\geqslant 0$;
3. $\sigma >0$ или $\sigma >\sigma _{a}$ (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции $f'(x)$ (производная от $f(x)$) для $\sigma >\sigma _{a}$.

Примечание: это достаточные условия существования.

• Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

1. Если изображение $F(s)$ — аналитическая функция для $\sigma \geqslant \sigma _{a}$ и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём ${\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}=0$ для $t\leqslant 0$.
2. Пусть $F(s)=\varphi [F_{1}(s),\;F_{2}(s),\;\ldots ,\;F_{n}(s)]$, так что $\varphi (z_{1},\;z_{2},\;\ldots ,\;z_{n})$ аналитична относительно каждого $z_{k}$ и равна нулю для $z_{1}=z_{2}=\ldots =z_{n}=0$, и $F_{k}(s)={\mathcal {L}}\{f_{k}(x)\}\;\;(\sigma >\sigma _{ak}\colon k=1,\;2,\;\ldots ,\;n)$, тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.

• Теорема о свёртке

Основная статья: Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

${\mathcal {L}}\{f(x)*g(x)\}={\mathcal {L}}\{f(x)\}\cdot {\mathcal {L}}\{g(x)\}.$

Доказательство

Для свёртки

$(f*g)(x)=\int _{0}^{\infty }dy\,f(x-y)g(y)$

Преобразование Лапласа:

${\mathcal {L}}\left\{(f*g)(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }dx\,e^{-sx}\int _{0}^{\infty }dy\,f(x-y)g(y)$

Для новой переменной $t=x-y,\;x=t+y$

${\mathcal {L}}\left\{(f*g)(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }dt\,e^{-s(t+y)}\int _{0}^{\infty }dy\,f(t)g(y)=\int _{0}^{\infty }dt\,e^{-st}f(t)\int _{0}^{\infty }dy\,e^{-sy}g(y)={\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}\cdot {\mathcal {L}}\left\{g(x)\right\}$

■

• Умножение изображений

$f(x)g(0)+\int \limits _{0}^{x}f(x-\tau )g'(\tau )\,d\tau =sF(s)G(s).$

Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.

• Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

${\mathcal {L}}\{f'(x)\}=s\cdot F(s)-f(0^{+}).$

В более общем случае (производная $n$-го порядка):

${\mathcal {L}}\{f^{(n)}(x)\}=s^{n}\cdot F(s)-s^{n-1}f(0^{+})-s^{n-2}f^{(1)}(0^{+})-\ldots -sf^{(n-2)}(0^{+})-f^{(n-1)}(0^{+}).$

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

${\mathcal {L}}\left\{\int \limits _{0}^{x}f(t)\,dt\right\}={\frac {F(s)}{s}}.$

• Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком:

${\mathcal {L}}^{-1}\{F'(s)\}=-xf(x).$

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

${\mathcal {L}}^{-1}\left\{\int \limits _{s}^{+\infty }F(s)\,ds\right\}={\frac {f(x)}{x}}.$

• Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

${\mathcal {L}}\{e^{ax}f(x)\}=F(s-a);$

${\mathcal {L}}^{-1}\{F(s-a)\}=e^{ax}f(x).$

Запаздывание оригинала:

${\mathcal {L}}\{f(t-a)H(t-a)\}=e^{-as}F(s);$

${\mathcal {L}}^{-1}\{e^{-as}F(s)\}=f(x-a)H(x-a).$

где $H(x)$ — функция Хевисайда.

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы):

$f(\infty )=\lim _{s\to 0}sF(s)$, если все полюсы функции $sF(s)$ находятся в левой полуплоскости.

Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, например, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.

• Другие свойства

Линейность:

${\mathcal {L}}\{af(x)+bg(x)\}=aF(s)+bG(s).$

Умножение на число:

${\mathcal {L}}\{f(ax)\}={\frac {1}{a}}F\left({\frac {s}{a}}\right).$

Прямое и обратное преобразование Лапласа некоторых функций

Ниже представлена таблица преобразования Лапласа для некоторых функций.

№	Функция	Временная область $x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{X(s)\}$	Частотная область $X(s)={\mathcal {L}}\{x(t)\}$	Область сходимости для причинных систем
1	дельта-функция	$\delta (t)\$	$1\$	$\forall s\$
1a	запаздывающая дельта-функция	$\delta (t-\tau )\$	$e^{-\tau s}\$
2	запаздывание $n$-го порядка с частотным сдвигом	${\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot H(t-\tau )$	${\frac {e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$\operatorname {Re} (s)>-\alpha$
2a	степенная $n$-го порядка, $n>-1$	${\frac {t^{n}}{n!}}\cdot H(t)$	${\frac {1}{s^{n+1}}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$
2a.1	степенная $q$-го порядка, $q\in \mathbb {C}$	${\frac {t^{q}}{\Gamma (q+1)}}\cdot H(t)$	${\frac {1}{s^{q+1}}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$
2a.2	функция Хевисайда	$H(t)\$	${\frac {1}{s}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$
2b	функция Хевисайда с запаздыванием	$H(t-\tau )\$	${\frac {e^{-\tau s}}{s}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$
2c	«ступенька скорости»	$t\cdot H(t)\$	${\frac {1}{s^{2}}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$
2d	$n$-го порядка с частотным сдвигом	${\frac {t^{n}}{n!}}e^{-\alpha t}\cdot H(t)$	${\frac {1}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$\operatorname {Re} (s)>-\alpha$
2d.1	экспоненциальное затухание	$e^{-\alpha t}\cdot H(t)\$	${\frac {1}{s+\alpha }}$	$\operatorname {Re} (s)>-\alpha \$
3	экспоненциальное приближение	$(1-e^{-\alpha t})\cdot H(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$	$\operatorname {Re} (s)>0\$
4	синус	$\sin(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}$	$\operatorname {Re} (s)>0\$
5	косинус	$\cos(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}$	$\operatorname {Re} (s)>0\$
6	гиперболический синус	$\mathrm {sh} \,(\alpha t)\cdot H(t)\$	${\frac {\alpha }{s^{2}-\alpha ^{2}}}$	$\operatorname {Re} (s)>|\alpha |\$
7	гиперболический косинус	$\mathrm {ch} \,(\alpha t)\cdot H(t)\$	${\frac {s}{s^{2}-\alpha ^{2}}}$	$\operatorname {Re} (s)>|\alpha |\$
8	экспоненциально затухающий синус	$e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {\omega }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$	$\operatorname {Re} (s)>-\alpha \$
9	экспоненциально затухающий косинус	$e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {s+\alpha }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$	$\operatorname {Re} (s)>-\alpha \$
10	корень $n$-го порядка	${\sqrt[{n}]{t}}\cdot H(t)$	$s^{-(n+1)/n}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)$	$\operatorname {Re} (s)>0$
11	натуральный логарифм	$\ln \left({\frac {t}{t_{0}}}\right)\cdot H(t)$	$-{\frac {1}{s}}[\ln(t_{0}s)+\gamma ]$	$\operatorname {Re} (s)>0$
12	функция Бесселя первого рода порядка $\nu$, $\nu >-1$	$J_{\nu }(\alpha t)\cdot H(t)$	${\frac {\left({\sqrt {s^{2}+\alpha ^{2}}}-s\right)^{\nu }}{\alpha ^{\nu }{\sqrt {s^{2}+\alpha ^{2}}}}}$	$\operatorname {Re} (s)>0\$
13	модифицированная функция Бесселя первого рода порядка $\nu$, $\nu >-1$	$I_{\nu }(\alpha t)\cdot H(t)$	${\frac {\left(s-{\sqrt {s^{2}-\alpha ^{2}}}\right)^{\nu }}{\alpha ^{\nu }{\sqrt {s^{2}-\alpha ^{2}}}}}$	$\operatorname {Re} (s)>|\alpha |\$
14	функция Бесселя второго рода нулевого порядка	$Y_{0}(\alpha t)\cdot H(t)\$	$-{\frac {2\mathrm {arsh} (s/\alpha )}{\pi {\sqrt {s^{2}+\alpha ^{2}}}}}$	$\operatorname {Re} (s)>0\$
15	модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка	$K_{0}(\alpha t)\cdot H(t)$	${\frac {\mathrm {arch} (s/\alpha )}{\sqrt {s^{2}-\alpha ^{2}}}}$	$\operatorname {Re} (s)>|\alpha |$
16	функция ошибок	$\mathrm {erf} (t)\cdot H(t)$	${\frac {e^{s^{2}/4}\mathrm {erfc} (s/2)}{s}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$
Примечания к таблице: $H(t)\$ — функция Хевисайда; $\delta (t)\$ — дельта-функция; $\Gamma (z)\$ — гамма-функция; $\gamma \$ — постоянная Эйлера — Маскерони; $t\$ — вещественная переменная; $s\$ — комплексная переменная; $\alpha \$, $\beta \$, $\nu \$, $\tau \$ и $\omega \$ — вещественные числа; $n\$ — целое число. Причинная система — система, в которой импульсная передаточная функция $h(t)\$ равна нулю для любого момента времени $t<0\$.

Применения преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа находит широкое применение во многих областях математики (операционное исчисление), физики и техники:

• Решение систем дифференциальных и интегральных уравнений — с помощью преобразования Лапласа легко переходить от сложных понятий математического анализа к простым алгебраическим соотношениям.
• Расчёт передаточных функций динамических систем, таких, к примеру, как аналоговые фильтры.
• Расчёт выходных сигналов динамических систем в теории управления и обработке сигналов — так как выходной сигнал линейной стационарной системы равен свёртке её импульсной характеристики с входным сигналом, преобразование Лапласа позволяет заменить эту операцию на простое умножение.
• Расчёт электрических схем. Производится путём решения дифференциальных уравнений, описывающих схему операторным методом.
• Решение нестационарных задач математической физики.

Процедура решения дифференциального уравнения с использованием преобразования Лапласа состоит в следующем:

1. По заданному входному воздействию с помощью таблиц соответствий находят изображение.
2. По д.у. составляют передаточную функцию.
3. Находят изображение величины пунктов 1 и 2.
4. Определяют оригинал.

Связь с другими преобразованиями

Фундаментальные связи

Практически все интегральные преобразования имеют схожую природу и могут получаться одно из другого через выражения соответствия. Многие из них являются частными случаями других преобразований. Далее даны формулы, связывающие преобразования Лапласа с некоторыми другими функциональными преобразованиями.

Преобразование Лапласа — Карсона

Преобразование Лапласа — Карсона (иногда называют просто преобразование Карсона, иногда, не совсем корректно, используют преобразование Карсона, называя его преобразованием Лапласа) получается из преобразования Лапласа путём домножения изображения на комплексную переменную:

${\mathcal {L}}_{K}\{f(x)\}=sF(s).$

Преобразование Карсона широко используется в теории электрических цепей, так как при таком преобразовании размерности изображения и оригинала совпадают, поэтому коэффициенты передаточных функций имеют физический смысл.

Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа ${\mathcal {L}}_{B}$ связано с односторонним с помощью следующей формулы:

${\mathcal {L}}_{B}\{f(x);\;s\}={\mathcal {L}}\{f(x);\;s\}+{\mathcal {L}}\{f(-x);\;-s\}.$

Преобразование Фурье

Непрерывное преобразование Фурье эквивалентно двустороннему преобразованию Лапласа с комплексным аргументом $s=i\omega$:

$F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(x)\}={\mathcal {L}}\{f(x)\}{\Big |}_{s=i\omega }=F(s){\Big |}_{s=i\omega }=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{-i\omega x}f(x)\,dx.$

В свою очередь, преобразование Лапласа ${\mathcal {L}}\{f(t)\}$ является преобразованием Фурье от функции $f(t)e^{-\lambda t}H(t)$, где $H(t)$ — функция Хевисайда. Частоту $\omega$ преобразования Фурье связывает с комплексным параметром преобразования Лапласа равенство $s=\lambda +i\omega$ :

${\mathcal {F}}\{f(t)e^{-\lambda t}H(t)\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\lambda t}H(t)e^{-i\omega t}dt=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-\lambda t}e^{-i\omega t}dt=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-(\lambda +i\omega )t}dt=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt={\mathcal {L}}\{f(t)\}$

Благодаря домножению на затухающую экспоненту $e^{-st}$, многие неограниченные на $t\to +\infty$ функции становятся достаточно быстро затухающими, чтобы к ним было применимо преобразование Фурье. Неограниченный рост на $-\infty$ предотвращает функция Хевисайда $H(t)$, которая зануляет функцию при отрицательных $t$.

Примечание: в этих выражениях опущен масштабирующий множитель ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$, который часто включается в определения преобразования Фурье.

Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа часто используется для того, чтобы определить частотный спектр сигнала или динамической системы.

Преобразование Меллина

Преобразование Меллина и обратное преобразование Меллина связаны с двусторонним преобразованием Лапласа простой заменой переменных. Если в преобразовании Меллина

$G(s)={\mathcal {M}}\left\{g(\theta )\right\}=\int \limits _{0}^{\infty }\theta ^{s}{\frac {g(\theta )}{\theta }}\,d\theta$

положим $\theta =e^{-x}$, то получим двустороннее преобразование Лапласа.

Z-преобразование

$Z$-преобразование — это преобразование Лапласа решётчатой функции, производимое с помощью замены переменных:

$z\equiv e^{sT},$

где $T=1/f_{s}\$ — период дискретизации, а $f_{s}\$ — частота дискретизации сигнала.

Связь выражается с помощью следующего соотношения:

$X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}.$

Преобразование Бореля

Интегральная форма преобразования Бореля идентична преобразованию Лапласа, существует также обобщённое преобразование Бореля, с помощью которого использование преобразования Лапласа распространяется на более широкий класс функций.

См. также

• Первая теорема разложения
• Вторая теорема разложения
• Преобразование Фурье
• D с чертой-преобразование
• Дифференциальные уравнения

Литература

• Ван дер Поль Б., Бремер Х. . Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. — М.: Издательство иностранной литературы, 1952. — 507 с.
• Диткин В. А., Прудников А. П. . Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974. — 544 с.
• Диткин В. А., Кузнецов П. И. . Справочник по операционному исчислению: Основы теории и таблицы формул. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. — 256 с.
• Карслоу Х., Егер Д. . Операционные методы в прикладной математике. — М.: Издательство иностранной литературы, 1948. — 294 с.
• Кожевников Н. И., Краснощёкова Т. И., Шишкин Н. Е. . Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1964. — 184 с.
• Краснов М. Л., Макаренко Г. И. . Операционное исчисление. Устойчивость движения. — М.: Наука, 1964. — 103 с.
• Микусинский Я. . Операторное исчисление. — М.: Издательство иностранной литературы, 1956. — 367 с.
• Романовский П. И. . Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1980. — 336 с.

Ссылки

• Преобразование Лапласа и его некоторые свойства (dsplib.org) Архивная копия от 12 августа 2018 на Wayback Machine
• Преобразование Лапласа на сайте exponenta.ru