D с чертой-преобразование — интегральное преобразование , связанное с непрерывным и дискретным преобразованиями Лапласа. Прямое D с чертой-преобразование ставит в соответствие изображению непрерывной функции изображение соответствующей ей дискретной функции. Оно широко применяется в разделах теории управления , связанных c дискретными системами.
Пусть
X
T
(
p
)
{\displaystyle X_{T}(p)}
x
T
(
t
)
{\displaystyle x_{T}(t)}
X
∗
(
q
,
ε
)
{\displaystyle X^{*}(q,\varepsilon )}
x
[
n
,
ε
]
=
x
T
(
(
n
+
ε
)
T
)
{\displaystyle x[n,\varepsilon ]=x_{T}((n+\varepsilon )T)}
n
∈
N
∪
{
0
}
{\displaystyle n\in \mathbb {N} \cup \{0\}}
Введем функцию
X
(
q
)
=
1
T
X
T
(
q
T
)
{\displaystyle X(q)={\frac {1}{T}}X_{T}\left({\frac {q}{T}}\right)}
X
∗
(
q
,
ε
)
=
D
¯
{
X
(
q
)
}
=
1
2
π
j
∫
c
−
j
∞
c
+
j
∞
X
(
η
)
e
q
e
q
−
e
η
e
ε
η
d
η
,
R
e
q
>
c
{\displaystyle X^{*}(q,\varepsilon )={\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}={\frac {1}{2\pi j}}\int \limits _{c-j\infty }^{c+j\infty }X(\eta ){\frac {e^{q}}{e^{q}-e^{\eta }}}e^{\varepsilon \eta }d\eta ,~\mathrm {Re} \,q>c}
Можно показать[1]
X
∗
(
q
,
ε
)
=
∑
k
=
1
l
R
e
s
η
=
η
k
e
q
e
ε
η
e
q
−
e
η
X
(
η
)
,
{\displaystyle X^{*}(q,\varepsilon )=\sum _{k=1}^{l}{\underset {\eta =\eta _{k}}{\mathrm {Res} }}{\frac {e^{q}e^{\varepsilon \eta }}{e^{q}-e^{\eta }}}X(\eta ),}
причем вычеты берутся по всем полюсам функции
X
(
q
)
{\displaystyle X(q)}
X
∗
(
q
,
ε
)
=
∑
r
=
−
∞
+
∞
e
ε
(
q
+
2
π
j
r
)
X
(
q
+
2
π
j
r
)
{\displaystyle X^{*}(q,\varepsilon )=\sum _{r=-\infty }^{+\infty }e^{\varepsilon (q+2\pi jr)}X(q+2\pi jr)}
Формула для обратного D с чертой-преобразования:
X
(
q
)
=
D
¯
−
1
{
X
∗
(
q
,
ε
)
}
=
∫
0
1
e
−
q
ε
X
∗
(
q
,
ε
)
d
ε
{\displaystyle X(q)={\overline {\mathcal {D}}}^{-1}\{X^{*}(q,\varepsilon )\}=\int \limits _{0}^{1}e^{-q\varepsilon }X^{*}(q,\varepsilon )d\varepsilon }
Линейность:
D
¯
{
∑
i
=
1
n
α
i
X
i
(
q
)
}
=
∑
i
=
1
n
α
i
D
¯
{
X
i
(
q
)
}
{\displaystyle {\overline {\mathcal {D}}}\left\{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}X_{i}(q)\right\}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\overline {\mathcal {D}}}\{X_{i}(q)\}}
Умножение на
e
k
q
,
k
∈
Z
{\displaystyle e^{kq},~k\in \mathbb {Z} }
D
¯
{
e
k
q
X
(
q
)
}
=
e
k
q
D
¯
{
X
(
q
)
}
{\displaystyle {\overline {\mathcal {D}}}\{e^{kq}X(q)\}=e^{kq}{\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}}
Умножение на
e
−
γ
q
,
0
<
γ
<
1
{\displaystyle e^{-\gamma q},~0<\gamma <1}
D
¯
{
e
−
γ
q
X
(
q
)
}
=
{
e
−
q
X
∗
(
q
,
1
+
ε
−
γ
)
,
0
⩽
ε
<
γ
,
X
∗
(
q
,
ε
−
γ
)
,
γ
⩽
ε
<
1
{\displaystyle {\overline {\mathcal {D}}}\{e^{-\gamma q}X(q)\}={\begin{cases}e^{-q}X^{*}(q,1+\varepsilon -\gamma ),&0\leqslant \varepsilon <\gamma ,\\X^{*}(q,\varepsilon -\gamma ),&\gamma \leqslant \varepsilon <1\end{cases}}}
Смещение q на ±λ:
D
¯
{
X
(
q
±
λ
)
}
=
e
∓
λ
ε
X
∗
(
q
±
λ
,
ε
)
{\displaystyle {\overline {\mathcal {D}}}\{X(q\pm \lambda )\}=e^{\mp \lambda \varepsilon }X^{*}(q\pm \lambda ,\varepsilon )}
Умножение на q:
D
¯
{
q
X
(
q
)
}
=
∂
∂
ε
D
¯
{
X
(
q
)
}
{\displaystyle {\overline {\mathcal {D}}}\{qX(q)\}={\frac {\partial }{\partial \varepsilon }}{\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}}
Деление на q:
D
¯
{
X
(
q
)
q
}
=
∫
0
ε
D
¯
{
X
(
q
)
}
d
ε
+
1
e
q
−
1
∫
0
1
D
¯
{
X
(
q
)
}
d
ε
{\displaystyle {\overline {\mathcal {D}}}\left\{{\frac {X(q)}{q}}\right\}=\int \limits _{0}^{\varepsilon }{\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}d\varepsilon +{\frac {1}{e^{q}-1}}\int \limits _{0}^{1}{\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}d\varepsilon }
Дифференцирование по q:
D
¯
{
d
d
q
X
(
q
)
}
=
∂
∂
q
D
¯
{
X
(
q
)
}
−
ε
D
¯
{
X
(
q
)
}
{\displaystyle {\overline {\mathcal {D}}}\left\{{\frac {d}{dq}}X(q)\right\}={\frac {\partial }{\partial q}}{\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}-\varepsilon {\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}}
Таблица некоторых преобразований
править
X
T
(
s
)
=
L
{
x
T
(
t
)
}
{\displaystyle X_{T}(s)={\mathcal {L}}\{x_{T}(t)\}}
X
(
q
)
=
1
T
X
T
(
q
T
)
{\displaystyle X(q)={\frac {1}{T}}X_{T}\left({\frac {q}{T}}\right)}
X
∗
(
q
,
ε
)
=
D
{
x
[
n
,
ε
]
}
=
D
¯
{
X
(
q
)
}
{\displaystyle X^{*}(q,\varepsilon )={\mathcal {D}}\{x[n,\varepsilon ]\}={\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}}
1
s
{\displaystyle {\frac {1}{s}}}
1
q
{\displaystyle {\frac {1}{q}}}
e
q
e
q
−
1
{\displaystyle {\frac {e^{q}}{e^{q}-1}}}
T
T
s
+
β
{\displaystyle {\frac {T}{Ts+\beta }}}
1
q
+
β
{\displaystyle {\frac {1}{q+\beta }}}
e
q
e
−
β
ε
e
q
−
e
−
β
{\displaystyle {\frac {e^{q}e^{-\beta \varepsilon }}{e^{q}-e^{-\beta }}}}
T
T
2
s
2
+
2
ζ
T
s
β
+
β
2
{\displaystyle {\frac {T}{T^{2}s^{2}+2\zeta Ts\beta +\beta ^{2}}}}
1
q
2
+
2
ζ
q
β
+
β
2
{\displaystyle {\frac {1}{q^{2}+2\zeta q\beta +\beta ^{2}}}}
e
q
e
−
ζ
β
ε
(
e
q
sin
β
ε
1
−
ζ
2
+
e
−
ζ
β
sin
β
(
1
−
ε
)
1
−
ζ
2
)
β
1
−
ζ
2
(
e
2
q
−
2
e
q
e
−
ζ
β
cos
β
1
−
ζ
2
+
e
−
2
ζ
β
)
{\displaystyle {\frac {e^{q}e^{-\zeta \beta \varepsilon }(e^{q}\sin \beta \varepsilon {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}+e^{-\zeta \beta }\sin \beta (1-\varepsilon ){\sqrt {1-\zeta ^{2}}})}{\beta {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}(e^{2q}-2e^{q}e^{-\zeta \beta }\cos \beta {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}+e^{-2\zeta \beta })}}}
↑ Голованов М. А., Иванов В. А. Конспект лекций по курсу «Теория цифровых систем автоматического управления»: Часть 1. — М.: Издательство МГТУ, 1990. — С. 44−46.
![{\displaystyle x[n,\varepsilon ]=x_{T}((n+\varepsilon )T)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8060ebdaa1f12fcb4fcab2ac3ad79977f730732c)
![{\displaystyle X^{*}(q,\varepsilon )={\mathcal {D}}\{x[n,\varepsilon ]\}={\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39fb1f8a4fca137b02c050a782911c3982057329)
