Z-преобразование

Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты , то есть на гармонические осцилляции с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.

ОпределениеПравить

Z-преобразование, как и многие интегральные преобразования, может быть задано как одностороннее и двустороннее

Двустороннее Z-преобразованиеПравить

Двустороннее Z-преобразование   дискретного временного сигнала   задаётся как:

 

где   — целое,   — комплексное число.

 

где   — амплитуда, а   — угловая частота (в радианах на отсчёт)

Одностороннее Z-преобразованиеПравить

В случаях, когда   определена только для  , одностороннее Z-преобразование задаётся как:

 

Обратное Z-преобразованиеПравить

Обратное Z-преобразование определяется, например, так:

 

где   — контур, охватывающий область сходимости  . Контур должен содержать все вычеты  .

Положив в предыдущей формуле  , получим эквивалентное определение:  

Область сходимостиПравить

Область сходимости   представляет собой некоторое множество точек на комплексной плоскости, в которых существует конечный предел ряда:

 

Пример 1 (без области сходимости)Править

Пусть  . Раскрывая   на интервале  , получаем

 

Смотрим на сумму:

 

Поэтому, не существует таких значений  , которые бы удовлетворяли условию сходимости.

Связь с преобразованием ЛапласаПравить

Билинейное преобразование может быть использовано для преобразования непрерывного времени например, при аналитическом описании фильтров представленных преобразованием Лапласа в дискретное время выборок, представленное в z-области и обратно. При таком преобразовании используется замена переменной:

 

Обратный переход от преобразования Лапласа к z-преобразованию производится заменой:

 

Билинейное преобразование отображает комплексную s-плоскость преобразования Лапласа на комплексную z-плоскость z-преобразования. Это отображение нелинейное, но полезно тем, что отображает ось   s-плоскости на единичную окружность в z-плоскости.

Таким образом, преобразование Фурье, которое является преобразованием Лапласа для переменной   переходит в преобразование Фурье с дискретным временем. При этом предполагается, что преобразование Фурье существует, то есть ось   находится в области сходимости преобразования Лапласа.

Таблица некоторых Z-преобразованийПравить

Обозначения:

  •   — функция Хевисайда.
  •   для  , и   для всех остальных n — дельта-последовательность (не следует путать с дельта-символом Кронекера и дельта-функцией Дирака).
Сигнал,   Z-преобразование,   Область сходимости
1      
2      
3      
4      
5      
6      
7      
8      
9      
10      
11      

См. такжеПравить

СсылкиПравить