Теория линейных стационарных систем

Теория линейных стационарных систем — раздел теории динамических систем, изучающий поведение и динамические свойства линейных стационарных систем (ЛСС). Используется для изучения процессов управления техническими системами, для цифровой обработки сигналов и в других областях науки и техники.

ОбзорПравить

Определяющими свойствами для любой линейной стационарной системы являются линейность и стационарность:

  • Линейность означает линейную связь между входом и выходом системы.

Формально, линейной называется система, обладающая следующим свойством:

если сигнал на входе системы можно представить взвешенной суммой воздействий (например, двух) —
x(t) = A·x1(t) + B·x2(t)
то сигнал на выходе системы является также взвешенной суммой реакций на каждое из воздействий —
y(t) = A·y1(t) + B·y2(t)
для любых постоянных A и B.
  • Стационарность — означает, что выходной сигнал системы как реакция на любой заданный входной сигнал одинаков для любого момента приложения входного сигнала (с точностью до времени запаздывания момента приложения входного сигнала). В более узком смысле — при запаздывании входного сигнала по времени на некоторую величину, выходной сигнал будет запаздывать на ту же самую величину.

Динамика систем, обладающих вышеперечисленными свойствами, может описываться одной простой функцией, к примеру, импульсной переходной функцией. Выход системы может рассчитываться как свёртка входного сигнала с импульсной переходной функцией системы. Этот метод анализа иногда называется анализом во временной области. Сказанное справедливо и для дискретных систем.

 
Связь между временно́й и частотной областями

Кроме того, любая ЛСС может быть описана в частотной области с помощью своей передаточной функции, которая является преобразованием Лапласа импульсной переходной функции (или Z-преобразованием в случае дискретных систем). В силу свойств этих преобразований, выход системы в частотной области будет равен произведению передаточной функции и соответствующего преобразования входного сигнала. Другими словами, свёртке во временной области соответствует умножение в частотной области.

Для всех ЛСС собственные функции являются комплексными экспонентами. То есть, если вход системы представляет собой комплексный сигнал   с некоторой комплексной амплитудой   и частотой  , то выход будет равен некоторому сигналу   с комплексной амплитудой  . Отношение   будет являться передаточной функцией системы на частоте  .

Так как синусоиды представляют собой сумму комплексных экспонент с комплексно-сопряжёнными частотами, если вход системы — синусоида, то выходом системы будет также синусоида, в общем случае с другой амплитудой и фазой, но с той же частотой.

Теория ЛСС хорошо подходит для описания многих систем. Большинство ЛСС гораздо проще анализировать, чем нестационарные и нелинейные системы. Любая система, динамика которой описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, является линейной стационарной системой. Примерами таких систем являются электрические схемы, собранные из резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности (RLC-цепочки). Груз на пружинке также можно считать ЛСС.

Большая часть общих концепций ЛСС схожа как в случае непрерывных систем, так и в случае дискретных систем.

Стационарность и линейные преобразованияПравить

Рассмотрим нестационарную систему, чья импульсная характеристика представляет собой функцию двух переменных. Посмотрим, как свойство стационарности поможет нам избавиться от одного измерения. К примеру, пусть входной сигнал —  , где аргумент — числа действительной оси, то есть  . Линейный оператор   показывает, как система отрабатывает этот входной сигнал. Соответствующий оператор для некоторого набора аргументов представляет собой функцию двух переменных:

 

Для дискретной системы:

 

Так как   — линейный оператор, воздействие системы на входной сигнал   представляется линейным преобразованием, описываемым следующим интегралом (интеграл суперпозиции)

 

Если линейный оператор   ко всему прочему является и стационарным, тогда

 

Положив

 

получим:

 

Для краткости записи второй аргумент в   обычно опускается и интеграл суперпозиции становится интегралом свёртки:

 

Таким образом, интеграл свёртки показывает как линейная стационарная система отрабатывает любой входной сигнал. Полученное соотношение для дискретных систем:

 

Импульсная переходная функцияПравить

Если ко входу системы приложить входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, результирующий выходной сигнал ЛСС будет представлять собой импульсную переходную функцию системы. Запись:

 

Для дискретной системы:

 

(из-за свойства сдвига дельта-функции).

Заметим, что:

 

то есть   — импульсная переходная функция системы

Импульсная переходная функция используется для того, чтобы найти выходной сигнал системы как реакцию на любой входной сигнал. Кроме того, любой вход может быть представлен в виде суперпозиции дельта-функций:

 

Приложив ко входу системы, получим:

 
  (так как   линейна)
  (так как   постоянна по t и   линейна)
  (by definition of  )

В импульсной переходной функции   содержится вся информация о динамике ЛСС.

Собственные функцииПравить

Собственная функция — функция, для которой выход оператора представляет собой ту же функцию, в общем случае с точностью до постоянного множителя. Запись:

 ,

где f — собственная функция, и  собственное число, константа.

Экспоненты  , где   являются собственными функциями линейного стационарного оператора. Простое доказательство:

Пусть входной сигнал системы  . Тогда выходной сигнал системы   равен:

 

что эквивалентно следующему выражению в силу коммутативности свёртки:

 
 
 ,

где

 

зависит только от s.

Таким образом,  собственная функция ЛСС.

Преобразования Лапласа и ФурьеПравить

Основная статья: Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа

 

является точным способом получить собственные числа из импульсной переходной функции. Особенный интерес представляют чистые синусоиды, то есть экспоненты вида   где   и  мнимая единица. Они обычно называются комплексными экспонентами даже если аргумент не имеет действительной части. Преобразование Фурье   даёт собственные числа для чисто комплексных синусоид.   называется передаточной функцией системы, иногда в литературе этот термин применяют и к  .

Преобразование Лапласа обычно используется для односторонних сигналов, то есть при нулевых начальных условиях. Начальный момент времени без потери общности принимается за ноль, а преобразование берётся от ноля до бесконечности (преобразование, которое получается при интегрировании также и до минус бесконечности, называется двустороннее преобразование Лапласа).

Преобразование Фурье используется для анализа систем, через которые проходят периодические сигналы, и во многих других случаях — например, для анализа системы на устойчивость.

Из-за свойств свёртки для обоих преобразований имеют место следующие соотношения:

 
 

Для дискретных систем:

 
 

Некоторые свойстваПравить

Некоторые из важных свойств любой системы — причинность и устойчивость. Для того, чтобы система существовала в реальном мире, должен выполняться принцип причинности. Неустойчивые системы могут быть построены и иногда быть даже полезными.

ПричинностьПравить

Основная статья: Причинная система

Система называется причинной, если её выход зависит только от текущего или предыдущего приложенного воздействия. Необходимое и достаточное условие причинности:

 

Для дискретных систем:

 

где   — импульсная переходная функция. В явном виде определить причинная система или нет из её преобразования Лапласа в общем случае невозможно, так как обратное преобразование Лапласа не является уникальным. Причинность может быть определена когда задана область сходимости.

УстойчивостьПравить

Основная статья: Устойчивость BIBO

Система является устойчивой по ограниченному входу, ограниченному выходу (англ. bounded input, bounded output stable, BIBO stable) если для каждого ограниченного входа выходной сигнал является конечным. Запись: Если

 

и

 

(то есть, максимумы абсолютных значений   и   конечны), тогда система устойчива. Необходимое и достаточное условие устойчивости: импульсная переходная характеристика системы,  , должна удовлетворять выражению

 

Для дискретных систем:

 

В частотной области область сходимости должна содержать мнимую ось  .

См. такжеПравить

СсылкиПравить

  • P. P. Vaidyanathan and T. Chen. Role of anticausal inverses in multirate filter banks -- Part I: system theoretic fundamentals (англ.) // IEEE Trans. Signal Proc. : journal. — 1995. — May.
  • P. P. Vaidyanathan and T. Chen. Role of anticausal inverses in multirate filter banks -- Part II: the FIR case, factorizations, and biorthogonal lapped transforms (англ.) // IEEE Trans. Signal Proc. : journal. — 1995. — May.
  • В.И. Зубов. Теория уравнений управляемого движения (неопр.). — Л.: ЛГУ, 1980.