Фу́нкции Бе́сселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:
где — произвольное вещественное число (в общем случае комплексное), называемое порядком.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Bessel_functions.png/220px-Bessel_functions.png)
Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков.
Хотя и порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по ).
Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.
Применения
правитьУравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:
- электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;
- теплопроводность в цилиндрических объектах;
- формы колебания тонкой круглой мембраны;
- распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии;
- скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси;
- волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.
Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.
Функция Бесселя является обобщением функции синуса. Ее можно трактовать как колебание струны с переменной толщиной, переменным натяжением (или одновременно обоими условиями); колебаниями в среде с переменными свойствами; колебаниями дисковой мембраны и т. д.
Определения
правитьПоскольку приведённое уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них.
Функции Бесселя первого рода
правитьФункциями Бесселя первого рода, обозначаемыми , являются решения, конечные в точке при целых или неотрицательных . Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых ):
Здесь — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально , хотя на самом деле нули функции расположены не периодично (однако расстояние между двумя последовательными нулями стремится к при )[1].
Ниже приведены графики для :
Если не является целым числом, функции и линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если целое, то верно следующее соотношение:
Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода (см. ниже).
Интегралы Бесселя
правитьМожно дать другое определение функции Бесселя для целых значений , используя интегральное представление:
Этот подход использовал Бессель, изучив с его помощью некоторые свойства функций. Возможно и другое интегральное представление:
Для нахождения интегрального представления функции Бесселя в случае нецелых необходимо учесть, что имеется разрез вдоль оси абсцисс. Это вызвано тем, что подынтегральное выражение более не является -периодическим. Таким образом, контур интегрирования разбивается на 3 участка: луч от до , где , окружность единичного радиуса и луч от до при . Проделав несложные математические преобразования, можно получить следующее интегральное представление:
Нетрудно убедиться, что при целых это выражение переходит в предыдущую формулу.
Функции Неймана
правитьФункции Неймана — решения уравнения Бесселя, бесконечные в точке .
Эта функция связана с следующим соотношением:
где в случае целого берётся предел по , вычисляемый, например, с помощью правила Лопиталя.
Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя:
Ниже приведён график для :
В ряде книг функции Неймана обозначаются .
Сферические функции Бесселя
правитьПри решении уравнения Гельмгольца в сферических координатах методом разделения переменных уравнение на радиальную часть имеет вид
Два линейно-независимых решения называются сферическими функциями Бесселя jn и yn, и связаны с обычными функциями Бесселя Jn и Неймана Yn с помощью[3]
yn также обозначается nn или ηn; некоторые авторы называют эти функции сферическими функциями Неймана.
Сферические функции Бесселя также могут быть записаны как (формула Релея)[4]
Несколько первых сферических функций Бесселя[5]:
и Неймана[6]:
Производящие функции
правитьПроизводящие функции сферических функций Бесселя[7]:
Дифференциальные соотношения
правитьВ следующих формулах fn может быть заменено на jn, yn, h(1)
n, h(2)
n, где h(1)
n и h(2)
n — сферические функции Ханкеля, для n = 0, ±1, ±2, ...[8]:
Свойства
правитьОртогональность
правитьПусть — нули функции Бесселя . Тогда[1]:
- .
Асимптотика
правитьДля функций Бесселя первого и второго рода известны асимптотические формулы. При малых аргументах и неотрицательных они выглядят так[9]:
- ,
где — постоянная Эйлера — Маскерони (0,5772…), а — гамма-функция Эйлера. Для больших аргументов ( ) формулы выглядят так:
Использование следующего члена асимптотического разложения позволяет значительно уточнить результат. Для функции Бесселя нулевого порядка он выглядит следующим образом:
Гипергеометрический ряд
правитьФункции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию:
Таким образом, при целых функция Бесселя однозначная аналитическая, а при нецелых — многозначная аналитическая.
Производящая функция
правитьСуществует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно
Соотношения
правитьФормула Якоби — Ангера и связанные с ней
правитьПолучается из выражения для производящей функции при , [10]:
При , [10]:
Рекуррентные соотношения
правитьДля функций Бесселя существует ряд рекуррентных соотношений. Приведём здесь некоторые из них:
- [11].
Теорема сложения
правитьДля любого целого n и комплексных , выполняется[12]
Интегральные выражения
правитьДля любых и (в том числе комплексных) выполняется[13]
Частным случаем последней формулы является выражение
См. также
правитьПримечания
править- ↑ 1 2 Зубов В. И. . Функции Бесселя. — М.: МФТИ, 2007. Архивировано 24 июня 2016 года.
- ↑ Синус в степени у экспоненты. Исправить?
- ↑ Abramowitz and Stegun, p. 437, 10.1.1 Архивная копия от 2 сентября 2006 на Wayback Machine.
- ↑ Abramowitz and Stegun, p. 439, 10.1.25, 10.1.26 Архивная копия от 21 декабря 2009 на Wayback Machine.
- ↑ Abramowitz and Stegun, p. 438, 10.1.11 Архивная копия от 30 апреля 2009 на Wayback Machine.
- ↑ Abramowitz and Stegun, p. 438, 10.1.12 Архивная копия от 30 апреля 2009 на Wayback Machine.
- ↑ Abramowitz and Stegun, p. 439, 10.1.39 Архивная копия от 21 декабря 2009 на Wayback Machine.
- ↑ Abramowitz and Stegun, p. 439, 10.1.23, 10.1.24 Архивная копия от 22 декабря 2019 на Wayback Machine.
- ↑ Arfken G. B., Hans J. W. . Mathematical Methods for Physicists. 6th ed. — San Diego: Harcourt, 2005. — ISBN 0-12-059876-0.
- ↑ 1 2 Бейтмен, Эрдейи, 1974, с. 15.
- ↑ В. С. Гаврилов и др. Функции Бесселя в задачах математической физики Архивная копия от 26 ноября 2019 на Wayback Machine, стр. 7
- ↑ Лаврентьев, Шабат, 1973, с. 670.
- ↑ Лаврентьев, Шабат, 1973, с. 671.
Литература
править- Ватсон Г. . Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949.
- Бейтмен Г., Эрдейи А. . Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции. Т. 2. 2-е изд / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. — М.: Наука, 1974. — 296 с.
- Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. . Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1973. — 736 с.