Функции Ганкеля

Фу́нкции Ха́нкеля (Га́нкеля) (функции Бесселя третьего рода) — линейные комбинации функций Бесселя первого и второго рода, а следовательно, решения уравнения Бесселя. Названы в честь немецкого математика Германа Ханкеля.

$H_{\nu }^{(1)}(z)=J_{\nu }(z)+iY_{\nu }(z)$ — функция Ханкеля первого рода;

$H_{\nu }^{(2)}(z)=J_{\nu }(z)-iY_{\nu }(z)$ — функция Ханкеля второго рода.

Функции Ханкеля с индексом 0 являются фундаментальными решениями уравнения Гельмгольца.

Свойства

• Представление функциями Бесселя первого рода:

$H_{\nu }^{(1)}(z)={\frac {J_{-\nu }(z)-e^{-\nu \pi i}J_{\nu }(z)}{i\sin(\nu \pi )}}$

$H_{\nu }^{(2)}(z)={\frac {J_{-\nu }(z)-e^{\nu \pi i}J_{\nu }(z)}{-i\sin(\nu \pi )}}$

• Определитель Вронского:

$W\left[H_{\nu }^{(1)}(z),H_{\nu }^{(2)}(z)\right]=-{\frac {4i}{\pi z}}$

• Симметрия по индексу:

$H_{-\nu }^{(1)}(z)=e^{\nu \pi i}H_{\nu }^{(1)}(z)$

$H_{-\nu }^{(2)}(z)=e^{-\nu \pi i}H_{\nu }^{(2)}(z)$

• Асимптотические представления:

$H_{-\nu }^{(1)}(z)\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{{\frac {i}{4}}(4z-2\pi \nu -\pi )}$, если $|z|\to \infty ,-\pi <\arg z<2\pi$;

$H_{-\nu }^{(2)}(z)\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-{\frac {i}{4}}(4z-2\pi \nu -\pi )}$, если $|z|\to \infty ,-2\pi <\arg z<\pi$.

См. также

• Функции Бесселя
• Сферические функции
• Модифицированные функции Бесселя

Литература

• Ватсон Г. Теория бесселевых функций. В 2 т. — М.: ИЛ, 1949.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. — М.: Физматгиз, 1966. — 296 с. — (Справочная математическая библиотека).

Ссылки

• Abramowitz and Stegun, p. 358, 9.1.3, 9.1.4.
• Олвер Ф. Гл. 9. Функции Бесселя целого порядка // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 177—255. — 832 с. — 50 000 экз.