Интеграл Дюамеля

Рис. 1. Пример линейной электрической цепи.
Рис. 2. Единичная функция — функция Хевисайда (сверху) и пример переходной функции линейной системы — отклик её на функцию Хевисайда (внизу).

Интегра́л Дюаме́ля — интеграл специального вида, применяется для расчёта отклика линейных систем на произвольно меняющееся во времени входное воздействие. Применимость этого интеграла основана на принципе суперпозиции для линейных систем, в которых отклик её на сумму нескольких воздействий как одновременных, так и сдвинутых во времени равен сумме откликов от каждого из слагаемых сигналов.

Используется для расчёта откликов линейных механических систем, линейных электрических цепей и др.

Назван в честь Жана Мари Констана Дюамеля, французского математика, предложившего его для расчёта отклика механических систем.

Идея применения метода состоит в следующем. Входной сигнал представляется в виде суммы (в общем случае бесконечной) некоторых стандартных сигналов, для которых отклик системы , называемый переходной функцией, известен.

В качестве стандартного входного сигнала в этом методе используется ступенчатая функция Хевисайда . Отклик системы выражается в виде интеграла от произведения задержанного на входное воздействие (свёртка функций), который носит название интеграла Дюамеля.

Таким образом, зная отклик системы на воздействие в виде функции Хевисайда, описанный в аналитическом виде или полученный экспериментально, можно предсказать (рассчитать) отклик системы на произвольное входное воздействие.

ФормулыПравить

Для использования интеграла Дюамеля необходимо предварительно вычислить или измерить переходную функцию системы  , которая является откликом системы на ступенчатый единичный входной сигнал (рис. 2).

Переходная функция, если она неизвестна, находится любым доступным методом (решение системы дифференциальных уравнений, операторный метод измерением и т. д.). Для линейной системы переходной функцией может быть апериодический, колебательный, затухающий колебательный процессы или комбинация нескольких перечисленных процессов. Например, для системы рис. 1, переходная функция является апериодическим процессом, изображённым на рис. 2[1].

Если входной сигнал системы описывается функцией  , где   - независимая переменная, реакция системы на этот сигнал выражается формулой, где   производная входного воздействия по времени:

 

В случае, если входной сигнал составной и функция   испытывает разрывы (моменты времени   ,   на рис. 3), то вышеуказанная формула справедлива только на интервале [0,  ]:

 

Отклик на остальных интервалах вычисляется по формулам, вытекающих из принципа суперпозиции:

 
 
 

Последние формулы означают, что:

  • Отклик системы, возникший на ранних этапах развития процесса, продолжает действовать во всех последующих интервалах времени.
  • Разрыв функции в момент времени   на величину   эквивалентен прибавлению или вычитанию из входного сигнала единичной функции с соответствующим коэффициентом и сдвинутой на соответствующий интервал времени   , что прибавляет в отклику системы дополнительный сигнал  .
  • К указанным выше сигналам отклика в последующие интервалы времени прибавляются отклики, вычисленные по тем же формулам с учётом сдвига входного сигнала на соответствующее время.

Пример применения интеграла Дюамеля для решенияПравить

 
Рис. 3. Пример сложного входного сигнала.

Для линейной цепи рис. 1 найдём ток   через конденсатор под действием сложного входного сигнала, изображённого на рис. 3.

Вычисление переходной функцииПравить

Чтобы найти вид переходной функции, найдём решения характеристического уравнения

 

где   — записанное в операторной форме входное сопротивление системы со стороны источника сигнала,   — комплексная переменная.

 
 
 

Характеристическое уравнение имеет одно действительное решение, следовательно, переходная функция представляет собой экспоненту:

 

Полагая, что в момент времени   конденсатор разряжен, получим

 

Вычисление отклика системы на сложный сигналПравить

Интервалы для вычисления
Сигнал Интервал    
       
       
       
Представление сигнала

Сложный входной сигнал представим в виде кусочной функции на трёх временных интервалах, указанных в таблице.

Решение

Решение ищется кусочно, для каждого интервала времени, в формулах  

 
 
 
 
 
 
 
 
 

СсылкиПравить

ПримечанияПравить

  1. Нейман Л. Р., Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники: в 2-х т. Учебник для вузов. Том I. — 3-е изд., перераб. и доп. — Л.: Энергоиздат. Ленингр. отд-ние, 1981. — 536 с., ил.

См. такжеПравить

Преобразование Лапласа