Многоугольник
Многоуго́льник — геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной, звенья которой не пересекаются.
Варианты определенийПравить
Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым.
- Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
- Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
- Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.
В любом случае вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а её звенья — сторонами многоугольника.
Связанные определенияПравить
- Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
- Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
- Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
- Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. В частности, угол может превосходить 180°, если многоугольник невыпуклый.
- Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол — разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от −180° до 180°.
Виды многоугольниковПравить
- Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и так далее. Многоугольник с вершинами называется -угольником.
- Выпуклый многоугольник это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника.
- Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник.
- Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется правильным звёздчатым многоугольником, например, пентаграмма и октаграмма.
- Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.
- Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.
СвойстваПравить
- Сумма внутренних углов плоского -угольника без самопересечений равна .
- Число диагоналей всякого -угольника равно .
ПлощадьПравить
- Пусть — последовательность координат соседних друг другу вершин -угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:
- , где .
Квадрируемость фигурПравить
С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура называется квадрируемой, если для любого существует пара многоугольников и , такие что и , где обозначает площадь .
Вариации и обобщенияПравить
- Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.