Многоугольник

Различные типы многоугольников

Многоуго́льник — геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Если граничная ломаная не имеет точек самопересечения, многоугольник называется простым[1]. Например, треугольники и квадраты — простые многоугольники, а пятиконечная звезда — нет.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а её звенья — сторонами многоугольника. Число сторон многоугольника совпадает с числом его вершин[2].

Правильный тринадцатиугольник — многоугольник с 13 углами и 13 вершинами.

Варианты определенийПравить

Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым[1].

  • Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
  • Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
  • Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.

Существуют также несколько вариантов обобщения данного определения, допускающие бесконечное число звеньев ломаных, несколько несвязных граничных ломаных, ломаные в пространстве, произвольные отрезки непрерывных кривых вместо отрезков прямых и др.[1]

Связанные определенияПравить

  • Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
  • Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
  • Общая длина всех сторон многоугольника называется его периметром.
  • Диагоналями называются отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника.
  • Углом (или внутренним углом) плоского многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами, сходящимися в этой вершине. Угол может превосходить   в том случае, если многоугольник невыпуклый. Число углов простого многоугольника совпадает с числом его сторон или вершин.
  • Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В случае невыпуклого многоугольника внешний угол — разность между   и внутренним углом, он может принимать значения от   до  .
  • Перпендикуляр, опущенный из центра вписанной окружности правильного многоугольника на одну из сторон, называется апофемой.

Виды многоугольников и их свойстваПравить

 
Многоугольник, вписанный в окружность
 
Многоугольник, описанный около окружности

Общие свойстваПравить

Теорема о сумме углов многоугольникаПравить

Сумма внутренних углов простого плоского  -угольника равна[4]  . Сумма внешних углов не зависит от числа сторон и всегда равна  

Число диагоналейПравить

  • Число диагоналей всякого  -угольника равно  .

ПлощадьПравить

Пусть   — последовательность координат соседних друг другу вершин  -угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:

 , где  .

Если даны длины сторон многоугольника и азимутальные углы сторон, то площадь многоугольника может быть найдена по формуле Саррона [5].

Площадь правильного  -угольника вычисляется по одной из формул[6]:

  • половина произведения периметра  -угольника на апофему:
  •  .
  •  
  •  

где   — длина стороны многоугольника,   — радиус описанной окружности,   — радиус вписанной окружности.

Квадрируемость фигурПравить

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура   называется квадрируемой, если для любого   существует пара многоугольников   и  , таких, что   и  , где   обозначает площадь  .

Вариации и обобщенияПравить

  • Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.

СсылкиПравить