Многоугольник

Тринадцатиугольник — многоугольник с 13 углами и 13 вершинами.

Многоуго́льник — геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной, звенья которой не пересекаются.

Варианты определений

Многоугольники

Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым.

• Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
• Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
• Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.

В любом случае вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а её звенья — сторонами многоугольника.

Связанные определения

• Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
• Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
• Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
• Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. В частности, угол может превосходить 180°, если многоугольник невыпуклый.
• Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол — разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от −180° до 180°.

Виды многоугольников

• Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и так далее. Многоугольник с $n$ вершинами называется $n$-угольником.

Многоугольник, вписанный в окружность

Многоугольник, описанный около окружности

• Выпуклый многоугольник это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника.
• Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник.
• Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется правильным звёздчатым многоугольником, например, пентаграмма и октаграмма.
• Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.
• Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Свойства

• Сумма внутренних углов плоского $n$-угольника без самопересечений равна $(n-2)\cdot 180^{\circ }$.
• Число диагоналей всякого $n$-угольника равно ${\tfrac {n\cdot (n-3)}{2}}$.

Площадь

• Пусть $\{(X_{i},Y_{i})\},i=1,2,...,n$ — последовательность координат соседних друг другу вершин $n$-угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:

$S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1})\right|$, где $(X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})$.

Квадрируемость фигур

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура $F$ называется квадрируемой, если для любого $\varepsilon >0$ существует пара многоугольников $P$ и $Q$, такие что $P\subset F\subset Q$ и $S(Q)-S(P)<\varepsilon$, где $S(P)$ обозначает площадь $P$.

Вариации и обобщения

• Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.