Многоугольник

Многоуго́льник — геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Если граничная ломаная не имеет точек самопересечения, многоугольник называется простым^[1]. Например, треугольники и квадраты — простые многоугольники, а пятиконечная звезда — нет.

Различные типы многоугольников

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а её звенья — сторонами многоугольника. Число сторон многоугольника совпадает с числом его вершин^[2].

Правильный тринадцатиугольник — многоугольник с 13 углами и 13 вершинами.

Варианты определенийПравить

Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым^[1].

Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.

Существуют также несколько вариантов обобщения данного определения, допускающие бесконечное число звеньев ломаных, несколько несвязных граничных ломаных, ломаные в пространстве, произвольные отрезки непрерывных кривых вместо отрезков прямых и др.^[1]

Связанные определенияПравить

Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
Общая длина всех сторон многоугольника называется его периметром.
Диагоналями называются отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника.
Углом (или внутренним углом) плоского многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами, сходящимися в этой вершине. Угол может превосходить $180^{\circ }$ в том случае, если многоугольник невыпуклый. Число углов простого многоугольника совпадает с числом его сторон или вершин.
Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В случае невыпуклого многоугольника внешний угол — разность между $180^{\circ }$ и внутренним углом, он может принимать значения от $-180^{\circ }$ до $180^{\circ }$ .
Перпендикуляр, опущенный из центра вписанной окружности правильного многоугольника на одну из сторон, называется апофемой.

Виды многоугольников и их свойстваПравить

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и так далее. Многоугольник с $n$ вершинами называется $n$ -угольником.

Многоугольник, вписанный в окружность

Многоугольник, описанный около окружности

Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника. Выпуклый многоугольник всегда простой, то есть не имеет точек самопересечения.
Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник. Символ Шлефли правильного $n$ -угольника равен $\{n\}$ .
Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется правильным звёздчатым многоугольником, например, пентаграмма и октаграмма.
Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности. Сама окружность при этом называется описанной, а её центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника. Любой треугольник является вписанным в некоторую окружность.
Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной, а её центр лежит на пересечении биссектрис углов многоугольника.. Любой треугольник является описанным около некоторой окружности.
Выпуклый четырёхугольник называется внеописанным около окружности, если продолжения всех его сторон (но не сами стороны) касаются некоторой окружности.^[3] Окружность при этом называется вневписанной. Вневписанная окружность существует также и у произвольного треугольника.

Общие свойстваПравить

Теорема о сумме углов многоугольникаПравить

Сумма внутренних углов простого плоского $n$ -угольника равна^[4] $180^{\circ }(n-2)$ . Сумма внешних углов не зависит от числа сторон и всегда равна $360^{\circ }.$

Число диагоналейПравить

Число диагоналей всякого $n$ -угольника равно ${\tfrac {n(n-3)}{2}}$ .

ПлощадьПравить

Пусть $\{(X_{i},Y_{i})\},i=1,2,...,n$ — последовательность координат соседних друг другу вершин $n$ -угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:

S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1})\right|

, где

(X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})

.

Если даны длины сторон многоугольника и азимутальные углы сторон, то площадь многоугольника может быть найдена по формуле Саррона ^[5].

Площадь правильного $n$ -угольника вычисляется по одной из формул^[6]:

половина произведения периметра $n$ -угольника на апофему:

$S={\frac {n}{4}}\ a^{2}\mathop {\mathrm {} } \,\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}$ .

$S={\frac {1}{2}}nR^{2}\sin {\frac {360^{\circ }}{n}};$

$S=nr^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}$

где $a$ — длина стороны многоугольника, $R$ — радиус описанной окружности, $r$ — радиус вписанной окружности.

Квадрируемость фигурПравить

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура $F$ называется квадрируемой, если для любого $\varepsilon >0$ существует пара многоугольников $P$ и $Q$ , таких, что $P\subset F\subset Q$ и $S(Q)-S(P)<\varepsilon$ , где $S(P)$ обозначает площадь $P$ .