Теорема Хелли

Теорема Хелли — классический результат комбинаторной геометрии и выпуклого анализа. Теорема даёт условие на семейство выпуклых множеств, гарантирующее то, что это семейство имеет непустое пересечение.

На плоскости, непустое пересечения всех троек выпуклых фигур влечёт, что пересечение всех непусто

Формулировки

Конечные семейства

Предположим, что

$X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$

есть конечное семейство выпуклых подмножеств евклидова пространства $\mathbb {R} ^{d}$, такое что $n>d$ и пересечение любых $d+1$ из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто, то есть

$\bigcap _{j=1}^{n}X_{j}\neq \emptyset$.

Бесконечные семейства

Для бесконечных семейств необходимо дополнительно потребовать компактность:

Пусть $\{X_{\alpha }\}$ есть произвольное семейство выпуклых компактных подмножеств $\mathbb {R} ^{d}$, такое что пересечение любых $d+1$ из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто.

Следствия

• Теорема Юнга: Пусть $S$ есть конечное множество точек в $d$-мерном евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{d}$ такое, что любые $d+1$ точек из $S$ можно накрыть единичным шаром. Тогда и всё множество $S$ можно накрыть единичным шаром.
• Радиус Юнга: Пусть $X$ — множество точек в $d$-мерном евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{d}$, с диаметром $\mathrm {diam} \,X\leqslant 2$. Тогда существует $d$-мерный замкнутый шар $B^{d}(r)$ радиуса $r={\sqrt {2d/(d+1)}}$, такой что $X\subset B^{d}(r)$. Если множество $X$ не принадлежит никакому меньшему шару, то $X$ содержит вершины $d$-симплекса с длиной каждого ребра $2$.
• Теорема Киршбрауна

Вариации и обобщения

• Пусть $H$ — гильбертово пространство (не обязательно сепарабельное) и $X_{\alpha }$ — семейство замкнутых ограниченных выпуклых подмножеств $H$. Если пересечение произвольного конечного подсемейства $X_{\alpha }$ не пусто то $\cap _{\alpha }X_{\alpha }$ также непусто.

История

Теорема была доказана Эдуардом Хелли в 1913, о чём он рассказал Радону, опубликовал он её только в 1923, уже после публикаций Радона и Кёнига.

См. также

• Нерв покрытия
• Теорема Каратеодори о выпуклой оболочке

Литература

• Данцер Л., Грюнбаум Б., Кли В. Теорема Хелли и ее применения. — М.: Мир, 1968. — 159 с.