Теорема Киршбрауна о продолжении

Теорема Киршбрауна о продолжении (иногда называется теорема Валентайн) — теорема о существовании продолжения липшицевой функции определённой на подмножестве евклидова пространства на всё пространство.

Формулировка править

Пусть $S$ произвольное подмножество евклидова пространства $\mathbb {R} ^{n}$ , тогда произвольное короткое отображение $f:S\to \mathbb {R} ^{m}$ можно продолжить до короткого отображения ${\bar {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ ; иначе говоря, существует короткое отображение ${\bar {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ такое, что ${\bar {f}}|_{S}=f$ .

Вариации и обобщения править

Естественно обобщается на
- Отображения из подмоножества гильбертова пространства в гильбертово пространство.
- Отображения из подмоножества пространства Лобачевского в пространство Лобачевского той же кривизны
Аналогичный результат для отбражений между сферами не верен, однако теорема остаётся верной для
- Отображения из подмоножества сферы в полусферу той же кривизны.
- Отображения из подмоножества сферы в сферу той же кривизны не меньшей размерности.
Аналогичный результат для банаховых пространств неверен.

Метрическая геометрия

Обобщение теоремы Киршбрауна на метрические пространства дано Лэнгом и Шрёдерем^[1]^[2]
Любое короткое отображение определённое на подмножестве произвольного метрического пространства со значениями в инъективном пространстве допускает короткое продолжение на всё пространство. Это даёт другое обобщение теоремы на метрические пространства. К инъективным пространствам относятся вещественная прямая и метрические деревья а также $L^{\infty }$ -пространства.
Для метрических пространств со свойством удвоения выполняется слабый вариант теоремы Киршбрауна. А именно, если $X$ — метрическое пространство со свойством удвоения и $A\subset X$ и $V$ — банахово пространство, то любое $L$ -Липшицево отображение $A\to V$ продолжается до $C\cdot L$ -Липшицева отображения $X\to V$ , где константа $C$ зависит только от параметра в свойстве удвоения.^[3]

История править

Была доказана в диссертации Мойжеша Киршбрауна (защищена в 1930)^[4]. Позже эту теорему передоказал Фредерик Валентайн^[5].

См. также править

Теорема Титце о продолжении

Примечания править

↑ Lang, U.; Schroeder, V. Kirszbraun's theorem and metric spaces of bounded curvature. Geom. Funct. Anal. 7 (1997), no. 3, 535–560.
↑ Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton Alexandrov meets Kirszbraun. Proceedings of the Gökova Geometry-Topology Conference 2010, 88–109, Int. Press, Somerville, MA, 2011.
↑ 4.1.21 в Heinonen, Juha, et al. Sobolev spaces on metric measure spaces. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015.
↑ M. D. Kirszbraun. Über die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. Fund. Math., (22):77-108, 1934.
↑ F. A. Valentine, "On the extension of a vector function so as to preserve a Lipschitz condition, "Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 49, pp. 100—108, 1943.

[1] Lang, U.; Schroeder, V. Kirszbraun's theorem and metric spaces of bounded curvature. Geom. Funct. Anal. 7 (1997), no. 3, 535–560.

[2] Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton Alexandrov meets Kirszbraun. Proceedings of the Gökova Geometry-Topology Conference 2010, 88–109, Int. Press, Somerville, MA, 2011.

[3] 4.1.21 в Heinonen, Juha, et al. Sobolev spaces on metric measure spaces. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015.

[4] M. D. Kirszbraun. Über die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. Fund. Math., (22):77-108, 1934.

[5] F. A. Valentine, "On the extension of a vector function so as to preserve a Lipschitz condition, "Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 49, pp. 100—108, 1943.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]