Конформное отображение

(перенаправлено с «Конформные отображения»)

Конформное отображениенепрерывное отображение, сохраняющее углы между кривыми, а значит и форму бесконечно малых фигур.

ОпределениеПравить

Взаимно однозначное отображение области D на область D* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (лат. conformis — подобный), если в окрестности любой точки D дифференциалом этого преобразования является композиция ортогонального преобразования и гомотетии.

Этот термин пришёл из комплексного анализа, изначально использовался только для конформных отображений областей плоскости.

Связанные определенияПравить

  • Если при конформном отображении сохраняется ориентация, то говорят о конформном отображении первого рода; если же она меняется на противоположную, то говорят о конформном отображении второго рода либо антиконформном отображении .
  • Две метрики   на гладком многообразии   называются конформноэквивалентными если существует гладкая функция   такая что  . В этом случае тождественное отображение на   индуцирует конформное отображение  .

СвойстваПравить

 
Пример конформного отображения. Видно, что перпендикулярность сохраняется.
  • Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур;
  • Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).
    • Это свойство можно также взять за определение конформного отображения.
  • Теорема Римана: Любая односвязная открытая область в плоскости, отличная от всей плоскости, допускает конформную биекцию на единичный диск.
  • Теорема Лиувилля: Всякое конформное отображение области евклидова пространства   при   можно представить в виде суперпозиции конечного числа инверсий.
  • Кривизна Вейля сохраняется при конформном отображении, то есть если   и   — конформноэквивалентные метрические тензоры, то
     
где   и   обозначают тензоры Вейля для   и   соответственно.
  • Для конформно-эквивалентых метрик  
  • Связности связаны следующей формулой:
     
  • Кривизны связаны следующей формулой:
     
     
если   а   обозначает Гессиан функции  .
  • Для ортонормированной пары векторов   и   Секционная кривизна в направленнии   можно записать в следующем виде:
     
где  .
  • При вычислении скалярной кривизны  -мерного риманова многообразия, удобнее записывать конформный фактор в виде  . В этом случае:
     

ПримерыПравить

 
Дисторсия (посередине и справа) как пример неконформного отображения квадрата.

ИсторияПравить

Исследованием конформных отображений занимались Л. Эйлер, Б. Риман, К. Гаусс, А. Пуанкаре, К. Каратеодори, Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин, М. А. Лаврентьев.

ПрименениеПравить

Конформное отображение применяется в картографии, электростатике для расчёта распределения электрических полей[1], механике сплошных сред (гидро- и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др.).

ЛитератураПравить

  • Алешков Ю. З. Лекции по теории функции комплексного переменного, СПб.: изд-во СПбГУ, 1999;
  • Иванов В. И. Конформные отображения и их приложения (краткий исторический очерк). // Историко-математические исследования. — М.: Янус-К, 2001. — № 41 (6). — С. 255-266..
  • Каратеодори К. Конформное отображение. М.—Л.: ОНТИ Государственное технико-теоретическое издательство, 1934 / Пер. с англ. М. В. Келдыша
  • Лаврентьев М.А. Конформные отображения. М.—Л.: Гостехиздат, 1946. 160 c.
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
  • Янушаускас А. И. Трёхмерные аналоги конформных отображений. Новосибирск: Наука, 1982. 173 с., 2650 экз.
  • Радыгин В. М., Полянский И. С. Методы конформных отображений многогранников в   // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 27:1 (2017), 60–68.

См. такжеПравить

СсылкиПравить

  1. Rogowski W. Die elektrische Festigkeit am l ande des Plaltenkondensators. (нем.) // Archiv ftir Elektrotechnik. — 1923. — Bd. 12. — S. 1-15. — doi:10.1007/BF01656573.