Принцип соответствия границ

Принцип соответствия границ или теорема Каратеодори:

Если конформно отображает область на область и границы областей жордановы, то можно продолжить до гомеоморфизма .

Замечания

править
  • В общем случае области с произвольной границей утверждение теоремы неверно.

Вариации и обобщения

править

Теорема Шварца о соответствии границ:

Если   конформно отображает область   на область  , притом кривые   и   являются аналитическими, то её можно продолжить до конформного отображения  .

Это не есть усиление теоремы Каратеодори, поскольку существуют непрерывные, но не аналитические границы.

Замечания

править
  • Также верен обратный принцип соответствия границ: Пусть   - ограниченные области с кусочно-гладкой границей и функция  , голоморфная на   и непрерывная на  , биективно отображает   на  , тогда   конформно отображает   на  

Литература

править
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.