Секционная кривизна

Секционная кривизна — один из способов описания кривизны римановых многообразий.

Определение

Секционная кривизна — это функция $K(\sigma )$, которая зависит от секционного направления $\sigma$ в точке $p$ (то есть двумерной плоскости в касательном пространстве в $p$). Она равна гауссовой кривизне поверхности, образованной экспоненциальным отображением, измеренной в точке $p$.

Свойства

• Если $v,\;u$ — два линейно независимых вектора в $\sigma$, то

  $K(\sigma )=K(u,\;v)/|u\wedge v|^{2},$ где $K(u,\;v)=\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle ,$

а $R(u,\;v)$ обозначает преобразование кривизны.

• • Эту формулу можно переписать следующим образом

    $K(\sigma )={\langle R(u,v)v,u\rangle \over \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle -\langle u,v\rangle ^{2}}.$

• Следующая формула показывает, что секционная кривизна описывает тензор кривизны полностью:

  $6\cdot \langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =$

  $[K(u+z,\;v+w)-K(u+z,\;v)-K(u+z,\;w)-K(u,\;v+w)-K(z,\;v+w)+K(u,\;w)+K(v,\;z)]\,-$

  $[K(u+w,\;v+z)-K(u+w,\;v)-K(u+w,\;z)-K(u,\;v+z)-K(w,\;v+z)+K(v,\;w)+K(u,\;z)].$

  • более простой форме, используя частные производные:

    $\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle ={\frac {1}{6}}\cdot \left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left(K(u+sz,\;v+tw)-K(u+sw,\;v+tz)\right)\right|_{(s,\;t)=(0,\;0)}.$

• Теорема сравнения Топоногова приводит условие на углы треугольника в римановом многообразии эквивалентное ограниченности его секционной кривизны некоторой постоянной.