Теорема сравнения Топоногова

Теорема сравнения Топоногова — классическая теорема римановой геометрии в целом.

В двумерном случае теорема была доказана Паоло Пиццетти[1]. Его работа оставалась незамеченной целый век.[2] Теорема была независимо передоказана Александром Даниловичем Александровым[3] и обобщена Виктором Андреевичем Топоноговым[4] на старшие размерности.

Необходимые определенияПравить

Для формулировки теоремы нам потребуется пара определений. Пусть  полное риманово многообразие размерности хотя бы 2 и с секционной кривизной не меньше некоторой константы  .

Обозначим через   модельную плоскость кривизны  . При   это евклидова плоскость, при  ,   изометрично поверхности сферы радиуса   и при  ,   есть плоскость Лобачевского кривизны  .

Треугольником в   называется тройка кратчайших соединяющие попарно три точки. При этом каждая из трёх точек называется вершиной треугольнка, а величина угла между парой исходящих из вершины кратчайших называется углом при этой вершине.

Пусть   есть треугольник в  . Предположим в   существует треугольник  , с равными соответствующими сторонами и при этом такой треугольник   является единственным с точностью до конгруэнтности. В этом случае треугольник   называется модельным треугольником треугольника   в  .

Заметим, что модельный треугольник   всегда определён в случае если  . В случае если  , это верно если периметр   строго меньше  .

Пусть   в   есть модельный треугольник   в  . Определим модельный угол   как угловую меру  .

ФормулировкаПравить

Теорема. Пусть   — полное риманово многообразие и с секционной кривизной не меньше некоторой константы  . Тогда углы любого треугольника   в M не меньше соответствующих углов его модельного треугольника  . Иначе говоря

 

для любого треугольника  .

СледствияПравить

  • Предположим   — полное риманово многообразие с неотрицательной секционной кривизной. Тогда для любой точки  , функция   является 2-вогнутой; то есть, для любой нормальной геодезической   функция   является вогнутой.

Вариации и обобщенияПравить

  • Обратная теорема также верна, то есть если сравнение углов верно для любого треугольника в римановом многообразии   то   имеет кривизну хотя бы  .
  • Для каждой точки x на стороне треугольника  , обозначим через   соответственную точку на стороне  . Тогда утверждение теоремы эквивалентно выполнению следующего неравенства
     
где   обозначает расстояние между точками   и   в римановом многообразии  .
  • Утверждение теоремы эквивалентно выполнению следующего неравенства
     
для произвольной четвёрки точек  

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, Мир, 1971, с. 343.
  • Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. — Санкт-Петербург: Наука, 1994. — ISBN 5-02-024606-9.

СсылкиПравить

  1. Pizzetti, P., Paragone fra due triangoli a lati uguali. Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti (5). Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali 16 (1), 1907, 6–11.
  2. Pambuccian, Victor; Zamfirescu, Tudor, Paolo Pizzetti: the forgotten originator of triangle comparison geometry. Historia Math. 38 (2011), no. 3, 415–422.
  3. А. Д . Александров, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.—Л.,Гостехиздат, 1948.
  4. В. А. Топоногов, Римановы пространства кривизны, ограниченной снизу УМН, 14:1(85) (1959), 87–130