Теорема сравнения Топоногова

Теорема сравнения Топоногова — классическая теорема римановой геометрии в целом.

В двумерном случае теорема была доказана Паоло Пиццетти^[1]. Однако его работа оставалась незамеченной целый век.^[2] Теорема была независимо передоказана Александром Даниловичем Александровым^[3] и обобщена Виктором Андреевичем Топоноговым^[4] на старшие размерности. Она послужила отправной точкой в развитии Александровской геометрии ограниченной снизу кривизны.

Вводные определения

Пусть $M$ — полное риманово многообразие размерности хотя бы 2 и с секционной кривизной не меньше некоторой константы $\kappa$ .

Обозначим через $\mathbb {M} _{\kappa }$ модельную плоскость кривизны $\kappa$ . При $\kappa =0$ это евклидова плоскость, при $\kappa >0$ , $\mathbb {M} _{\kappa }$ изометрично поверхности сферы радиуса ${\tfrac {1}{\sqrt {\kappa }}}$ и при $\kappa <0$ , $\mathbb {M} _{\kappa }$ есть плоскость Лобачевского кривизны $\kappa$ .

Треугольником в $M$ называется тройка кратчайших соединяющие попарно три точки. При этом каждая из трёх точек называется вершиной треугольнка, а величина угла между парой исходящих из вершины кратчайших называется углом при этой вершине.

Пусть $\triangle$ есть треугольник в $M$ . Предположим в $\mathbb {M} _{\kappa }$ существует треугольник ${\tilde {\triangle }}_{\kappa }$ , с равными соответствующими сторонами и при этом такой треугольник ${\tilde {\triangle }}_{\kappa }$ является единственным с точностью до конгруэнтности. В этом случае треугольник ${\tilde {\triangle }}_{\kappa }$ называется модельным треугольником треугольника $\triangle$ в $M$ .

Заметим, что модельный треугольник ${\tilde {\triangle }}_{\kappa }$ всегда определён в случае если $\kappa \leqslant 0$ . В случае если $\kappa >0$ , это верно если периметр $\triangle$ строго меньше $2\cdot \pi /{\sqrt {\kappa }}$ .

Пусть $\triangle {\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}$ в $\mathbb {M} _{\kappa }$ есть модельный треугольник $\triangle xyz$ в $M$ . Определим модельный угол ${\tilde {\measuredangle }}_{\kappa }xyz$ как угловую меру $\measuredangle {\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}$ .

Формулировка

Теорема. Пусть $M$ — полное риманово многообразие размерности хотя бы 2 и с секционной кривизной не меньше некоторой константы $\kappa$ . Тогда углы любого треугольника $\triangle$ в M не меньше соответствующих углов его модельного треугольника ${\tilde {\triangle }}_{\kappa }$ . Иначе говоря

{\tilde {\measuredangle }}_{\kappa }xyz\leqslant \measuredangle xyz

для любого треугольника $\triangle xyz$ .

Следствия

Предположим $M$ — полное риманово многообразие с неотрицательной секционной кривизной. Тогда для любой точки $p\in M$ , функция $f(x)=|p-x|_{M}^{2}$ является 2-вогнутой; то есть, для любой нормальной геодезической $\gamma$ функция $t\mapsto f\circ \gamma (t)-t^{2}$ является вогнутой.

Вариации и обобщения

Обратная теорема также верна, то есть если сравнение углов верно для любого треугольника в римановом многообразии $M$ то $M$ имеет кривизну хотя бы $\kappa$ .

Для каждой точки $x$ на стороне треугольника $\triangle$ , обозначим через ${\tilde {x}}$ соответственную точку на стороне ${\tilde {\triangle }}\kappa$ . Тогда утверждение теоремы эквивалентно выполнению следующего неравенства
$|{\tilde {x}}-{\tilde {y}}|_{\mathbb {M} _{\kappa }}\leqslant |x-y|_{M}$

где

|x-y|_{M}

обозначает расстояние между точками

x

и

y

в римановом многообразии

M

.

Утверждение теоремы эквивалентно выполнению следующего неравенства
${\tilde {\measuredangle }}_{\kappa }xpy+{\tilde {\measuredangle }}_{\kappa }ypz+{\tilde {\measuredangle }}_{\kappa }zpx\leqslant 2\cdot \pi$

для произвольной четвёрки точек

p,x,y,z\in M

Теорема Топоногова даёт полное описание метрических пространств, которые изометричны четырёточечным подмножествам полного риманова многообразия с неотрицательной кривизной.^[5]
- Известно аналогичное описание пятиточечных подмножеств.^[6]

См. также

Теорема сравнения Рауха

Примечания

↑ Pizzetti, P., Paragone fra due triangoli a lati uguali. Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti (5). Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali 16 (1), 1907, 6-11.
↑ Pambuccian, Victor; Zamfirescu, Tudor, Paolo Pizzetti: the forgotten originator of triangle comparison geometry. Historia Math. 38 (2011), no. 3, 415—422.
↑ А. Д . Александров, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.—Л.,Гостехиздат, 1948.
↑ Топоногов В. А. Римановы пространства кривизны, ограниченной снизу УМН, 14:1(85) (1959), 87-130
↑ N. Lebedeva, V. Zolotov «Curvature and 4-point subspaces».
↑ arXiv:2202.13049

Литература

Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом, Мир, 1971, с. 343.
Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. — Санкт-Петербург: Наука, 1994. — ISBN 5-02-024606-9.

[1] Pizzetti, P., Paragone fra due triangoli a lati uguali. Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti (5). Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali 16 (1), 1907, 6-11.

[2] Pambuccian, Victor; Zamfirescu, Tudor, Paolo Pizzetti: the forgotten originator of triangle comparison geometry. Historia Math. 38 (2011), no. 3, 415—422.

[3] А. Д . Александров, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.—Л.,Гостехиздат, 1948.

[4] Топоногов В. А. Римановы пространства кривизны, ограниченной снизу УМН, 14:1(85) (1959), 87-130

[5] N. Lebedeva, V. Zolotov «Curvature and 4-point subspaces».

[6] rXiv:2202.13049

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]