Теорема сравнения Рауха — фундаментальный результат римановой геометрии. Доказана Раухом[1].

Теорема утверждает, что в пространствах с большей секционной кривизной геодезические имеют тенденцию сходиться быстрее. Точная формулировка использует поля Якоби.

Формулировка править

Пусть   и   суть римановы многообразия. Пусть   и   суть геодезические с единичной скоростью, такие, что   не имеет сопряженных точек вдоль  , и пусть   — нормальные поля Якоби вдоль   и  , такие, что   и  . Предположим, что секционные кривизны   и   всюду удовлетворяют  , где   — это 2-плоскость, содержащая  , а   — 2-плоскость, содержащая  . Тогда   для всех  .

Следствия править

Пусть   — риманово многообразие, и геодезическая   не имеет сопряжённых точек, тогда:

  • Если   имеет неотрицательную секционную кривизну, то для любого поля Якоби   такого, что  , имеем
     
  • Если секционная кривизна   не меньше 1, то
     
  • Если секционная кривизна   не больше −1, то
     

См. также править

Примечания править

  1. Rauch, H. E. A contribution to differential geometry in the large // Ann. Math.. — 1951. — Vol. 54. — P. 38–55. — doi:10.2307/1969309.. MR: 42765

Ссылки править

  • Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, Мир, 1971, с. 343.
  • Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. — Санкт-Петербург: Наука, 1994. — ISBN 5-02-024606-9.