Поле Якоби

Поле Якобивекторное поле вдоль геодезической в римановом многообразии, описывающие разницу между этой геодезической и «бесконечно близкой» ей геодезической. Можно сказать, что все поля Якоби вдоль геодезической образуют касательное пространство к ней в пространстве всех геодезических.

Названы в честь Карла Густава Якоба Якоби.

ОпределениеПравить

Пусть   есть гладкое однопараметрическое семейство геодезических с  , тогда поле

 

называется полем Якоби.

СвойстваПравить

  • Поле Якоби J удовлетворяет уравнению Якоби:
     
где   есть ковариантная производная по отношению к связности Леви-Чивита,  тензор кривизны, и   — касательный вектор к  .
  • На полных римановых многообразиях любое поле, удовлетворяющее уравнению Якоби, является полем Якоби, то есть для него существует семейство геодезических  , связанное с этим полем в соответствии с определением.
  • Уравнение Якоби — линейное  обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.
    • В частности,    и   в какой-либо точке   однозначно определяют поле Якоби.
    • Кроме того, набор полей Якоби вдоль геодезической составляет вещественное векторное пространство, размерность которого равна удвоенной размерности многообразия.
  • Любое поле Якоби   можно представить единственным образом в виде суммы  , где   является линейной комбинацией тривиальных полей Якоби, и   ортогонально   при всех  .
    • При этом поле   соответствует тому же семейству геодезических, только с измененной параметризацией.
  • Для любых двух полей Якоби   и   величина
     
не зависит от  .

ПримерПравить

На сфере геодезическими через Северный полюс являются большие окружности. Рассмотрим две такие геодезические   и   с естественной параметризацией  , разделенные углом  . Геодезическое расстояние   равно

 

Чтобы получить это выражение, нужно знать геодезические. Наиболее интересный результат таков:

  для любого  .

Вместо этого мы можем рассмотреть производные по   при  :

 

Мы вновь получаем пересечение геодезических при  . Заметим, однако, что для вычисления этой производной не нужно знать  ; все, что нужно сделать, это решить уравнение

 ,

для некоторых заданных начальных условий.

Поля Якоби дают естественное обобщение этого явления для произвольных римановых многообразий.

Решение уравнения ЯкобиПравить

Пусть  ; добавим к этому вектору другие, чтобы получился ортонормированный базис   в  . Переместим его параллельным переносом, чтобы получить базис   в любой точке  . Это даёт ортонормированный базис с  . Поле Якоби можно записать в координатах, связанных с этим базисом:  , откуда:

 

и уравнение Якоби можно переписать в виде системы

 

для каждого  . Таким образом мы получим линейные обыкновенные дифференциальные уравнения. Поскольку уравнение имеет гладкие коэффициенты, мы имеем, что решения существуют для всех   и являются единственными, если заданы   и   для всех  .

ПримерыПравить

Рассмотрим геодезическую   с параллельным ортонормированным репером  ,  , построенным, как описано выше.

  • Векторные поля вдоль  , заданные   и  , являются полями Якоби.
  • В евклидовом пространстве (а также для пространств постоянной нулевой секционной кривизны)  поля Якоби это — это те поля, что линейны по  .
  • Для римановых многообразий постоянной отрицательной секционной кривизны   любое поле Якоби является линейной комбинацией  ,   и  , где  .
  • Для римановых многообразий постоянной положительной секционной кривизны   любое поле Якоби является линейной комбинацией  ,  ,   и  , где  .
  • Сужение поля Киллинга на геодезическую является полем Якоби в любом римановом многообразии.
  • Поля Якоби соответствуют геодезическим на касательном расслоении (по отношению к метрике  , индуцированной метрикой на  ).

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, Мир, 1971, с. 343.
  • Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. — Санкт-Петербург: Наука, 1994. — ISBN 5-02-024606-9.