Свя́зность Леви-Чиви́ты (или связность, ассоциированная с метрикой) — одна из основных структур на римановом многообразии. Даёт естественный способ дифференцировать векторные поля на римановом многообразии; эквивалентно заданию ковариантного дифференцирования, а также параллельного перенесения вдоль кривых. Названа в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты.

Определение править

Связность Леви-Чивиты есть аффинная связность с нулевым кручением на римановом (или псевдоримановом) многообразии  , относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен.

То есть аффинная связность   на римановом многообразии   называется связностью Леви-Чивиты, если для неё выполнены следующие два условия:

  1. (римановость) для любых векторных полей  ,  ,   верно
     
    где   обозначает производную   в направлении  .
  2. (отсутствие кручения) для любых векторных полей   и  
     ,
    где  скобки Ли векторных полей   и  .

Свойства править

  • Любое риманово (и псевдориманово) многообразие обладает единственной связностью Леви-Чивиты; это утверждение иногда называется основной теоремой римановой геометрии.

См. также править

Литература править

  • Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию. — СПб.: Наука, 1994. — ISBN 5-02-024606-9.