Функция Фабиуса

Функция Фабиуса — классический пример гладкой, но не аналитической функции, основанный на бесконечной сумме случайных величин.

Определение

График функции Фабиуса

Функция Фабиуса определена на отрезке $[0,1]$ как функция распределения случайной величины, представляющей собой сумму

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}\xi _{n}$,

где $\xi _{n}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с равномерным распределением на отрезке $[0,1]$.

Свойства

Функция Фабиуса — бесконечно дифференцируемая, но не является аналитической ни в одной точке: в двоично-рациональных точках её ряд Тейлора сводится к многочлену (не совпадающему с самой фунцией), а во всех прочих точках — расходится.

Функция Фабиуса $f(x)$ обладает симметрией $f(1-x)=1-f(x)$ на всём отрезке $[0,1]$. Она также удовлетворяет функционально-дифференциальному уравнению

$f'(x)=2f(2x)$

на отрезке $[0,1/2]$.

График функции Фабиуса, продолженной на все положительные значения аргумента

Используя функционально-дифференциальное уравнение, можно продолжить функцию на все положительные действительные аргументы. В результате получается последовательность отрезков, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения в точности в соответствии с последовательностью Морса — Туэ.

Значение функции Фабиуса при любом двоично-рациональном значении аргумента — рациональное число.

Альтернативные определения

Функцию неоднократно переоткрывали. Яп Фабиус ввёл приведённое выше определение в статье 1966 года. Ещё в статье 1935 года ту же самую функцию описали как преобразование Фурье бесконечного произведения

${\hat {f}}(z)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(\cos {\frac {\pi z}{2^{m}}}\right)^{m}$.

Также функция Фабиуса совпадает с атомарной функцией up(x), введённой Владимиром Рвачёвым, при соответствующем сдвиге аргумента.

Ссылки

• Fabius, Jaap (1966), "A probabilistic example of a nowhere analytic $C^{\infty }$-function", Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, 5 (2): 173—174, doi:10.1007/bf00536652, MR 0197656, S2CID 122126180
• Jessen, Børge; Wintner, Aurel (1935), "Distribution functions and the Riemann zeta function", Trans. Amer. Math. Soc., 38: 48—88, doi:10.1090/S0002-9947-1935-1501802-5, MR 1501802
• Dimitrov, Youri (2006). Polynomially-divided solutions of bipartite self-differential functional equations (Thesis).
• Arias de Reyna, Juan (2017). "An infinitely differentiable function with compact support: Definition and properties". arXiv:1702.05442 [math.CA].
• Arias de Reyna, Juan (2017). "Arithmetic of the Fabius function". arXiv:1702.06487 [math.NT].
• В. Л. Рвачёв, В. А. Рвачёв, «Неклассические методы теории приближений в краевых задачах», Наукова думка, Киев (1979).
• В. А. Рвачев. Финитные решения функционально-дифференциальных уравнений и их применения // УМН. — 1990. — Т. 47. — С. 77–103.
• Последовательность A272755 в OEIS: Числители значений функции Фабиуса F(1/2ⁿ) = Numerators of the Fabius function F(1/2^n).