Открыть главное меню
Сходимость ряда Меркатора к (показанной оранжевым) в окрестности нуля для 4, 7, 11, 16 членов ряда

Ряд Мерка́тора (иногда называемый ряд Ньютона — Меркатора) в математическом анализеряд Тейлора для функции натурального логарифма, впервые опубликованный немецким математиком Николасом Меркатором (Кауфманом) в трактате «Logarithmotechnia» (1668 год):

Лейбниц за это открытие назвал Меркатора «первым изобретателем бесконечных рядов»; до Меркатора европейские математики рассматривали почти исключительно числовые ряды, не содержащие переменных. Независимо от Меркатора этот ряд открыл Исаак Ньютон. В работе «Метод флюксий и бесконечных рядов с приложением его к геометрии кривых» (1671, опубликован посмертно в 1736 году) Ньютон выразил удивление, что до Меркатора никто «не направил своего внимания на приложение к буквам [переменным] принципов недавно открытого учения о десятичных дробях, особенно потому, что при этом открывается путь к более трудным и более важным открытиям»[1].

Ряд Меркатора способствовал подъёму массового интереса к использованию бесконечных рядов и формированию общей теории рядов и функций. К концу XVII века эта тема существенно расширилась и превратилась в математический анализ[2].

Ряд Меркатора сходится при хотя сходимость довольно медленная. При ряд сходится абсолютно.

ИсторияПравить

 
Площадь под гиперболой   в интервале   равна  

В 1647 году Грегуар де Сен-Венсан обнаружил связь логарифма и площади под гиперболой (см. рисунок). В 1650 году, исходя из геометрических соображений, итальянский математик Пьетро Менголи опубликовал в трактате «Новые арифметические квадратуры» разложение   в бесконечный ряд[3]:

 

В 1657 году эту формулу независимо опубликовал английский математик Уильям Браункер в своей статье «Квадратура гиперболы с помощью бесконечного ряда рациональных чисел»[3].

В 1668 году немецкий математик Николас Меркатор (Кауфман), проживавший тогда в Лондоне, в трактате «Logarithmotechnia» впервые рассмотрел разложение в ряд не числа, а функции[4]:

 

Далее он нашёл площади под левой и правой частями этого разложения (в современных терминах, проинтегрировал их) и получил «ряд Меркатора», который выписал для значений   и  . Сходимость ряда Меркатор не исследовал, но сразу после выхода в свет труда Меркатора Джон Валлис указал, что ряд пригоден при   (отрицательными числами тогда пренебрегали).

Как обнаружили историки науки, Ньютон вывел такой же ряд в 1665 году, но, по своему обыкновению, не позаботился о публикации[5]. Глубокие исследования Ньютона в области бесконечных рядов были опубликованы только в 1711 году, в трактате «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов»[1].

Вариации и обобщенияПравить

Ряд Меркатора непригоден для реальных расчётов, так как сходится очень медленно, причём в ограниченном интервале. Но уже в год публикации Меркатора (1668) Джеймс Грегори предложил модифицированный его вариант:

 

Этот ряд сходится гораздо быстрее, а логарифмируемое выражение уже может представить любое положительное число[5]. Например, сумма первых 10 членов ряда Меркатора для   равна   здесь только первый десятичный знак верен, в то время как ряд Грегори даёт значение   в котором верны 10 знаков из 13[6].

На комплексной плоскости ряд Меркатора приобретает обобщённый вид:

 

Это ряд Тейлора для комплексной функции   где символ ln обозначает главную ветвь (главное значение) комплексного натурального логарифма. Данный ряд сходится в круге  .

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Ньютон И. Математические работы. — М.-Л.: ОНТИ, 1937. — С. 3—24, 25. — 452 с.
  2. Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение, 1977. — С. 121. — 224 с.
  3. 1 2 История математики, том II, 1970, с. 158.
  4. История математики, том II, 1970, с. 158—161.
  5. 1 2 История математики, том II, 1970, с. 162.
  6. Хайрер Э., Ваннер Г. Математический анализ в свете его истории. — М.: Научный мир, 2008. — С. 27. — 396 с. — ISBN 978-5-89176-485-9.

ЛитератураПравить

  • Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.

СсылкиПравить