Открыть главное меню

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Формирование дифференциального исчисления связано с именами Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница. Именно они чётко сформировали основные положения и указали на взаимообратный характер дифференцирования и интегрирования. Создание дифференциального исчисления (вместе с интегральным) открыло новую эпоху в развитии математики. С этим связаны такие дисциплины как теория рядов, теория дифференциальных уравнений и многие другие. Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики. Очень распространилась область применения математики в естественных науках и технике.

Дифференциальное исчисление базируется на таких важнейших понятиях математики, определение и исследование которых и составляют предмет введения в математического анализа: действительные числа (числовая прямая), функция, граница, непрерывность. Все эти понятия получили современную трактовку в ходе развития и обоснования дифференциального и интегрального исчислений.

Основная идея дифференциального исчисления состоит в изучении функции в малом. Точнее дифференциальное исчисление дает аппарат для исследования функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки близка к поведению линейной функции или многочлена. Таким аппаратом служат центральные понятия дифференциального исчисления: производная и дифференциал.

Дифференциальное исчисление функций одной переменнойПравить

ПроизводнаяПравить

Пусть функция   определена в окрестности   и для любого   > 0 найдётся такое  , что

 , лишь только  

тогда говорят, что   — бесконечно малое порядка  .

Пусть   — вещественнозначная функция, заданная на отрезке  . Эту функцию называют бесконечно дифференцируемой на интервале  , если

 

для любого   и любого  . Таким образом, локально, в окрестности любой точки отрезка, функция сколь угодно хорошо приближается многочленом. Гладкие на отрезке   функции образуют кольцо гладких функций  .

Коэффициенты  

 

Эти функции называют производными функции  . Первая производная может быть вычислена как предел

 .

Оператор, сопоставляющий функции   её производную   обозначают как

 

При этом для двух гладких функций f и g верно

  и  

Оператор, обладающий указанными свойствами, называют дифференцированием кольца гладких функций.

Всякая аналитическая функция, голоморфная на отрезке  , является гладкой функцией, но обратное неверно. Главное различие аналитических и гладких функций состоит в том, что первые полностью определяются своим поведением в окрестности одной точки, вторые — нет. Напр., гладкая функция может быть равна постоянной в окрестности одной точки, но не быть постоянной всюду. Элементарные функции в своей (открытой) области определения являются аналитическими, а, следовательно, и гладкими функциями. Однако, в отличие от аналитических функций, гладкие функции могут быть заданы на разных интервалах разными элементарными выражениями.

Касательная прямаяПравить

 
График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Прямая

 

пересекает кривую

 

в точке   таким образом, что знак выражения

 

при условии   всё время остаётся одним и тем же, поэтому кривая

 

лежит по одну сторону от прямой

 

Прямую, обладающую указанным свойством, называют касательной к кривой в точке   (по Б. Кавальери). Точку  , в которой кривая

 

не лежит по одну сторону от прямой

 

называют точкой перегиба, при этом прямую все равно именуют касательной. Для единообразия часто само понятие касательной вводят иначе с тем, чтобы оба случая подпадали под него.

Точки экстремумаПравить

Точка   называется точкой локального максимума (минимума), если

 

для всех достаточно малых по модулю  . Из соотношения

 

сразу видно, что   — необходимое условие максимума, а   — достаточное условие максимума. Условие   выделяет точки максимума, минимума и перегиба.

Непрерывные функцииПравить

Пусть   определена и на концах интервала  ; говорят, что она непрерывна на  , если для любого   найдётся такое  , что

 , лишь только  

и точки   не выходят за границы интервала  . Теорема Вейерштрасса утверждает, что гладкая на отрезке функция достигает на отрезке своего минимального и максимального значений. Понятие непрерывности функции обычно увязывается с понятием предела функции. Непрерывные на интервале   функции образуют кольцо непрерывных функций  .

ИсторияПравить

В XII веке математик Шарафуддин ат-Туси тюрко-монгольского государства Хулагу был первым, кто нашел производную от кубической функции, важный результат в дифференциальном исчислении. Был написан "Трактат об уравнениях", в котором были разработаны концепции, связанные с дифференциальным исчислением, такие, как производная функции и максимумы и минимумы кривых, для решения кубических уравнений, которая не может иметь положительного решения.

Основные теоремы дифференциального исчисленияПравить

Кольцо непрерывных на   и гладких на   функций обладает рядом важных свойств:

  • Теорема Ролля: если  , то имеется точка   максимума или минимума, в которой   обращается в нуль.
  • Теорема Лагранжа: существует такая точка  , что
 
  • Теорема Коши: если   на  , то существует такая точка  , что
 

Из теоремы Лагранжа выводят формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: на любом отрезке   найдутся такие точки  , что

 

где

 

При помощи этой формулы можно приближённо вычислять значения функции в точке   по известным значениям функции и её производных в точке  .

Из теоремы Коши выводят правило Лопиталя: если   или  , и   на  , то

 

причём существование второго предела влечёт существование первого.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить