Открыть главное меню

Тождество Эйлера (комплексный анализ)

Экспоненциальная функция ez может быть определена как предел последовательности (1 + z/N)N, при N стремящемуся к бесконечности, и поэтому e есть предел (1 + iπ/N)N. На каждом кадре этой анимации изображены числа (1 + iπ/N)k, где k пробегает от 0 до N, а N принимает различные возрастающие значения от 1 до 100.

Тождество Эйлера — частный случай формулы Эйлера при [⇨], известное тождество, связывающее пять фундаментальных математических констант:

где

 — число е, или основание натурального логарифма,
 — мнимая единица,
 — пи, отношение длины окружности к длине её диаметра,
 — единица, нейтральный элемент по операции умножения,
 — нуль, нейтральный элемент по операции сложения.

Тождество Эйлера названо в честь швейцарского, немецкого и российского математика Леонарда Эйлера[⇨]. Тождество считается образцом математической красоты[⇨], поскольку показывает глубокую связь между самыми фундаментальными числами в математике.

ВыводПравить

Тождество Эйлера — это особый случай формулы Эйлера из комплексного анализа:

 

для любого вещественного  . (Заметим, что аргументы тригонометрических функций   и   взяты в радианах). В частности

 

А из того, что

 

и

 

следует

 

что даёт тождество:

 

ОбобщенияПравить

Тождество Эйлера также является частным случаем более общего тождества, когда  корни из единицы, при  , складываются в  :

 

Тождество Эйлера — это случай, когда  .

В другой области математики, используя возведение в степень кватерниона, можно показать, что подобное тождество также применимо к кватернионам. Пусть {i, j, k} — базисные элементы; тогда

 

В общем случае, если даны вещественные a1, a2, и a3 такие, что a12 + a22 + a32 = 1, то

 

Для октонионов, с вещественным an таким, что a12 + a22 + ... + a72 = 1, и с базисными элементами октонионов {i1, i2, ..., i7},

 

Математическая красотаПравить

Тождество Эйлера, объединяющее три основные математические операции (сложение, умножение и возведение в степень) и пять фундаментальных математических констант, принадлежащих к четырём классическим областям математики (числа   и   относятся к арифметике, мнимая единица   — к алгебре, число   — к геометрии, а число   — к математическому анализу[1]), произвело глубокое впечатление на научный мир, мистически истолковывалось как символ единства математики, и часто приводится как пример глубокой математической красоты.

Тождество Эйлера вызвало множество восторженных отзывов.

  • Карл Фридрих Гаусс говорил, что если эта формула сразу не очевидна для студента, то он никогда не превратится в первоклассного математика[2].
  • Профессор математики, натурфилософии и астрономии Гарвардского университета Бенджамин Пирс после доказательства на лекции тождества Эйлера заявил, что «это, наверное, правда, но она абсолютно парадоксальна; мы не можем понять её, и мы не знаем, что она значит, но мы доказали её, и поэтому мы знаем, что она должна быть достоверной»[3].
  • Физик Ричард Фейнман называл (1977) тождество Эйлера «нашим сокровищем» и «самой замечательной формулой в математике»[4].
  • Профессор математики Стэнфордского университета Кит Девлин (англ.) в своем эссе «Самое прекрасное уравнение» (2002) сказал: «Как шекспировский сонет схватывает саму суть любви, или картина раскрывает красоту человеческой формы, намного более глубокую, чем просто кожа, уравнение Эйлера проникает в самые глубины существования»[5].
  • Почётный профессор Университета Нью-Гемпшира Пол Нахин (англ.) в своей книге, посвящённой формуле Эйлера и её применению в анализе Фурье, описывает тождество Эйлера как «изысканной красоты»[5].
  • По мнению популяризатора математики Констанс Рид, это тождество является «самой знаменитой формулой во всей математике»[6].

Опрос читателей, проведённый математическим журналом The Mathematical Intelligencer в 1990 году, назвал тождество Эйлера «самой красивой теоремой в математике»[7]. В другом опросе читателей, проведённом физическим журналом PhysicsWorld в 2004 году, тождество Эйлера (вместе с уравнениями Максвелла) было названо «величайшим уравнением в истории»[8].

Исследование мозга шестнадцати математиков показало, что «эмоциональный мозг» (в частности, медиальная орбитофронтальная кора, реагирующая на прекрасную музыку, поэзию, картины и т. д.) активировался более последовательно в случае тождества Эйлера, чем в отношении любой другой формулы[9].

ИсторияПравить

Формула Эйлера, из которой сразу следует тождество Эйлера, впервые была приведена в статье английского математика Роджера Котса (помощника Ньютона) «Логометрия» (лат. Logometria), опубликованной в журнале «Философские труды Королевского общества» в 1714 году[10] (когда Эйлеру было 7 лет), и перепечатана в книге «Гармония мер» (лат. Harmonia mensurarum) в 1722 году[11].

Эйлер опубликовал формулу Эйлера в её привычном виде в статье 1740 года и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» (лат. Introductio in analysin infinitorum) (1748)[12].

Однако, в работах Эйлера 1740 и 1748 годов не фигурирует именно тождество Эйлера (в его нынешнем классическом виде), где возможно, что он его никогда не выводил. Есть вероятность, что Эйлер мог получить информацию о формуле Эйлера через своего швейцарского соотечественника Иоганна Бернулли[13].

По мнению Робина Уилсона (англ.)[14]:

Мы видели, как оно [тождество Эйлера] может быть легко выведено из результатов Иоганна Бернулли и Роджера Котса, но, похоже, ни один из них этого не сделал. Даже Эйлер, кажется, не записал этого в явном виде — и, конечно, оно не фигурирует ни в одной из его публикаций — хотя он, несомненно, понял, что это немедленно следует из его тождества [в данном случае — формулы Эйлера], eix = cos x + i sin x. Более того, кажется, неизвестно, кто первым сформулировал результат явно…

В культуреПравить

ПримечанияПравить

  1. Данциг, Тобиас. Числа - язык науки. — М.: Техносфера, 2008. — С. 111. — ISBN 978-5-94836-172-7.
  2. Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. Астрель, 2010. 464 с. ISBN 978-5-271-25422-2.
  3. Kasner, E., and Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster, Maor, Eli (1998), e: The Story of a number, Princeton University Press ISBN 0-691-05854-7.
  4. Feynman, Richard P. The Feynman Lectures on Physics. — Addison-Wesley, 1977. — Vol. I. — P. 22-10. — ISBN 0-201-02010-6.
  5. 1 2 Nahin, Paul J. (2006), Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, Princeton University Press ISBN 978-0-691-11822-2.
  6. Reid, Constance (various editions), From Zero to Infinity, Mathematical Association of America
  7. Wells, David (1990), «Are these the most beautiful?», The Mathematical Intelligencer, 12: 37–41, doi:10.1007/BF03024015
  8. Crease, Robert P. (10 May 2004), «The greatest equations ever», Physics World
  9. Zeki, S.; Romaya, J. P.; Benincasa, D. M. T.; Atiyah, M. F. (2014), «The experience of mathematical beauty and its neural correlates», Frontiers in Human Neuroscience, 8, doi:10.3389/fnhum.2014.00068, PMC 3923150
  10. Cotes R. Logometria (англ.) // Philosophical Transactions of the Royal Society of London : journal. — 1714-1716. — Vol. 29. — P. 32. — DOI:10.1098/rstl.1714.0002.
  11. Cotes R. Harmonia mensurarum. — 1722. — P. 28.
  12. Euler L. Cap.VIII. De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis // Introductio in analysin infinitorum. — 1748. — Vol. 1. — P. 104.
  13. Sandifer, C. Edward. Euler's Greatest Hits. — Mathematical Association of America, 2007. — ISBN 978-0-88385-563-8.
  14. Wilson, Robin. Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics. — Oxford University Press, 2018.