Открыть главное меню

Волновое уравнение в физике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.

Содержание

Вид уравненияПравить

В многомерном случае однородное волновое уравнение записывается в виде

 ,

где   — оператор Лапласа,   — неизвестная функция,   — время,   — пространственная переменная,   — фазовая скорость.

В одномерном случае уравнение называется также уравнением колебания струны или уравнением продольных колебаний стержня и записывается в виде

 .

Оператор Д’АламбераПравить

Разность   называется оператором Д’Аламбера и обозначается как   (разные источники используют разный знак). Таким образом, с использованием оператора Д’Аламбера (даламбертиана) однородное волновое уравнение записывается как:

 

Неоднородное уравнениеПравить

Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение

 ,

где   — некая заданная функция внешнего воздействия (внешней силы).

Стационарным вариантом волнового уравнения является уравнение Лапласа (уравнение Пуассона в неоднородном случае).

Задача нахождения нормальных колебаний системы, описываемой волновым уравнением, приводит к задаче на собственные значения для уравнения Лапласа, то есть к нахождению решений уравнения Гельмгольца, получающегося подстановкой

  или  .

Решение волнового уравненияПравить

Существует аналитическое решение гиперболического уравнения в частных производных. В евклидовом пространстве произвольной размерности оно называется формулой Кирхгофа. Частные случаи: для колебания струны ( ) — формула Д’Аламбера, для колебания мембраны ( ) — формула Пуассона.

Формула Д'АламбераПравить

Решение одномерного волнового уравнения (здесь   — фазовая скорость)

  (функция   соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

 

имеет вид

 

Интересно заметить, что решение однородной задачи

 ,

имеющее следующий вид

 

может быть представлено в виде

 

где

 
 

В таком случае говорят, что решение представлено в виде суммы бегущих волн, а функции   и   — это профили волн, бегущих, соответственно, влево и вправо. В рассматриваемом случае профили волн со временем не изменяются.

В многомерном случае также решение задачи Коши может быть разложено в бегущие волны, однако уже не в сумму, а в интеграл, поскольку направлений становится бесконечно много. Это делается элементарно при помощи преобразования Фурье

Задача на полупрямойПравить

Рассмотрим однородное уравнение колебаний на полупрямой  

 

с закрепленным концом:

 

и начальными условиями

 

для того, чтобы задача имела решение, необходима согласованность начальных условий и граничного условия, а именно:

 

Задача на полупрямой легко сводится к задаче на прямой после того, как мы антисимметрично продолжим начальные условия:

 

В силу того, что начальные условия   — нечётные функции, логично ожидать, что и решение   будет нечётной функцией. В этом можно непосредственно убедиться, рассмотрев решение в виде формулы Д’Аламбера. Поэтому полученное решение u(x, t) будет удовлетворять начальным условиям и граничному условию   (последнее следует из нечётности функции).

Показанный приём широко используется (не только для волнового уравнения) и называется метод отражения. Например, можно рассмотреть волновое уравнение на полупрямой, но с граничным условием второго рода на конце  :

 .

Физически условие означает, что левый конец стержня (если рассматривать систему как продольные колебания стержня) свободен, то есть на него не действует никакая сила.

Методы решения в ограниченной одномерной областиПравить

Метод отраженийПравить

Рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке  

 

с однородными граничными условиями первого рода (то есть при закрепленных концах)

 

и начальными условиями

 

При помощи метода отражения задача может быть снова сведена к задаче на прямой. В данном случае потребуется бесконечное число отражений, в итоге продолженные начальные условия будут определяться таким образом:

 
 

При рассмотрении неоднородного волнового уравнения:

 

используются ровно те же соображения, и функция   продолжается таким же образом.

Метод ФурьеПравить

Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке  

 

с однородными граничными условиями первого рода

 

и начальными условиями

 

Метод Фурье основывается на представлении решения в виде (бесконечной) линейной комбинации простых решений задачи вида

 , где обе функции зависят только от одной переменной.

Отсюда другое название метода — метод разделения переменных.

Нетрудно показать, что для того, чтобы функция   была решением уравнения колебаний и удовлетворяла граничным условиям, необходимо, чтобы выполнялись условия

 
 
 

Решение задачи Штурма-Лиувилля на   приводит к ответу:

 

и их собственным значениям  

Соответствующие им функции   выглядят как

 

Таким образом, их линейная комбинация (при условии, что ряд сходится) является решением смешанной задачи

 

Разложив функции   в ряд Фурье, можно получить коэффициенты  , при которых решение будет обладать такими начальными условиями.

Метод учёта волнПравить

 
Импульс, отражающийся от закрепленных граничных концов, упругие колебания моделируются волновым уравнением

Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке  

 

однако на сей раз положим однородные начальные условия

 

и неоднородные граничные. Например, будем считать, что задана зависимость положения концов стержня от времени (граничное условие первого рода)

 

Решение записывается в виде

 

В том, что оно удовлетворяет уравнению и начально-краевым условиям, можно убедиться непосредственно. Интересна интерпретация: каждое слагаемое в решении соответствует некоторому отражению одной из граничных волн. Например, левое граничное условие порождает волну вида

 

которая, добегая за время а до правого конца, отражается и даёт вклад

 

через время а снова отражается и дает вклад

 

Этот процесс продолжается бесконечно долго, суммируя вклады всех волн и получаем указанное решение. Если нас интересует решение на промежутке  , то мы можем ограничиться лишь первыми   слагаемыми.

См. такжеПравить

СсылкиПравить