Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 13 июля 2019; проверки требуют 3 правки.
Разность называется оператором Д’Аламбера и обозначается как (разные источники используют разный знак).
Таким образом, с использованием оператора Д’Аламбера (даламбертиана) однородное волновое уравнение записывается как:
Существует аналитическое решение гиперболического уравнения в частных производных. В евклидовом пространстве произвольной размерности оно называется формулой Кирхгофа. Частные случаи: для колебания струны () — формула Д’Аламбера, для колебания мембраны () — формула Пуассона.
Решение одномерного волнового уравнения (здесь — фазовая скорость)
(функция соответствует вынуждающей внешней силе)
с начальными условиями
имеет вид
Интересно заметить, что решение однородной задачи
,
имеющее следующий вид
может быть представлено в виде
где
В таком случае говорят, что решение представлено в виде суммы бегущих волн, а функции и — это профили волн, бегущих, соответственно, влево и вправо. В рассматриваемом случае профили волн со временем не изменяются.
В многомерном случае также решение задачи Коши может быть разложено в бегущие волны, однако уже не в сумму, а в интеграл, поскольку направлений становится бесконечно много. Это делается элементарно при помощи преобразования Фурье
Рассмотрим однородное уравнение колебаний на полупрямой
с закрепленным концом:
и начальными условиями
для того, чтобы задача имела решение, необходима согласованность начальных условий и граничного условия, а именно:
Задача на полупрямой легко сводится к задаче на прямой после того, как мы антисимметрично продолжим начальные условия:
В силу того, что начальные условия — нечётные функции, логично ожидать, что и решение будет нечётной функцией. В этом можно непосредственно убедиться, рассмотрев решение в виде формулы Д’Аламбера. Поэтому полученное решение u(x, t) будет удовлетворять начальным условиям и граничному условию (последнее следует из нечётности функции).
Показанный приём широко используется (не только для волнового уравнения) и называется метод отражения. Например, можно рассмотреть волновое уравнение на полупрямой, но с граничным условием второго рода на конце :
.
Физически условие означает, что левый конец стержня (если рассматривать систему как продольные колебания стержня) свободен, то есть на него не действует никакая сила.
Методы решения в ограниченной одномерной областиПравить
Рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке
с однородными граничными условиями первого рода (то есть при закрепленных концах)
и начальными условиями
При помощи метода отражения задача может быть снова сведена к задаче на прямой. В данном случае потребуется бесконечное число отражений, в итоге продолженные начальные условия будут определяться таким образом:
При рассмотрении неоднородного волнового уравнения:
используются ровно те же соображения, и функция продолжается таким же образом.
Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке
с однородными граничными условиями первого рода
и начальными условиями
Метод Фурье основывается на представлении решения в виде (бесконечной) линейной комбинации простых решений задачи вида
, где обе функции зависят только от одной переменной.
Отсюда другое название метода — метод разделения переменных.
Нетрудно показать, что для того, чтобы функция была решением уравнения колебаний и удовлетворяла граничным условиям, необходимо,
чтобы выполнялись условия
Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке
однако на сей раз положим однородные начальные условия
и неоднородные граничные. Например, будем считать, что задана зависимость положения концов стержня от времени
(граничное условие первого рода)
Решение записывается в виде
В том, что оно удовлетворяет уравнению и начально-краевым условиям, можно убедиться непосредственно. Интересна интерпретация: каждое слагаемое в решении соответствует некоторому отражению одной из граничных волн. Например, левое граничное условие порождает волну вида
которая, добегая за время а до правого конца, отражается и даёт вклад
через время а снова отражается и дает вклад
Этот процесс продолжается бесконечно долго, суммируя вклады всех волн и получаем указанное решение. Если нас интересует решение на промежутке , то мы можем ограничиться лишь первыми слагаемыми.
Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.