Волновое уравнение

Волновое уравнение в физике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.

Вид уравнения

В многомерном случае однородное волновое уравнение записывается в виде

$\Delta u={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}$,

где $\Delta$ — оператор Лапласа, $u=u(x,t)$ — неизвестная функция, $t\in \mathbb {R}$ — время, $x\in \mathbb {R} ^{n}$ — пространственная переменная, $v$ — фазовая скорость.

Вывод для трёхмерного случая.

Приведённые выкладки, конечно же, можно обобщить и на многомерные случаи. Итак.

Пусть дано уравнение плоской волны:

$A({\vec {r}},t)=A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k}},{\vec {r}})+\varphi _{0}\right),$

где

• $A(x,t)$ — величина возмущения в данной точке пространства $x$ и времени $t$;
• $A_{0}$ — амплитуда волны;
• $\omega$ — круговая частота;
• ${\vec {k}}$ — волновой вектор, равный $k{\vec {n}}$

где

• $k$ — волновое число;
• ${\vec {n}}$ — единичный вектор нормали, проведённый к волновому фронту

• ${\vec {r}}\left(x,y,z\right)$ — радиус-вектор точки с координатами $x,y$ и $z$;
• $({\vec {k}},{\vec {r}})$ — скалярное произведение векторов ${\vec {k}}$ и ${\vec {r}}$. Здесь и далее скалярное произведение будет обозначаться таким образом;
• $\varphi _{0}$ — начальная фаза колебаний.

Продифференцируем его по $x$, по $y$, по $z$ и по $t$. Получим четыре уравнения:

$\left\{{\begin{matrix}{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k}},{\vec {r}})+\varphi _{0}\right)=-\omega ^{2}A({\vec {r}},t)\qquad \left(1\right)\\{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial x^{2}}}=-k_{x}^{2}A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k}},{\vec {r}})+\varphi _{0}\right)=-k_{x}^{2}A({\vec {r}},t)\qquad \left(2\right)\\{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial y^{2}}}=-k_{y}^{2}A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k}},{\vec {r}})+\varphi _{0}\right)=-k_{y}^{2}A({\vec {r}},t)\qquad \left(3\right)\\{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial z^{2}}}=-k_{z}^{2}A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k}},{\vec {r}})+\varphi _{0}\right)=-k_{z}^{2}A({\vec {r}},t)\qquad \left(4\right)\end{matrix}}\right.$

Сложим $\left(2\right),\left(3\right)$ и $\left(4\right):$

${\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial x^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial z^{2}}}=-(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2})A({\vec {r}},t)=-{\vec {k}}^{2}\cdot A({\vec {r}},t)$

Из полученного уравнения и уравнения $\left(1\right),$ заменив ${\cfrac {k^{2}}{\omega ^{2}}}={\cfrac {1}{v^{2}}},$ получаем, что

${\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial x^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial z^{2}}}={\cfrac {1}{v^{2}}}\cdot {\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial t^{2}}}\Leftrightarrow \Delta A({\vec {r}},t)={\cfrac {1}{v^{2}}}\cdot {\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial t^{2}}}$

В одномерном случае уравнение называется также уравнением колебания струны или уравнением продольных колебаний стержня и записывается в виде

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}$.

Оператор Д’Аламбера

Разность $\Delta -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$ называется оператором Д’Аламбера и обозначается как $\square$ (разные источники используют разный знак). Таким образом, с использованием оператора Д’Аламбера (даламбертиана) однородное волновое уравнение записывается как:

$\square u=0$

Неоднородное уравнение

Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=v^{2}\Delta u+f$,

где $f=f(x,t)$ — некая заданная функция внешнего воздействия (внешней силы).

Стационарным вариантом волнового уравнения является уравнение Лапласа (уравнение Пуассона в неоднородном случае).

Задача нахождения нормальных колебаний системы, описываемой волновым уравнением, приводит к задаче на собственные значения для уравнения Лапласа, то есть к нахождению решений уравнения Гельмгольца, получающегося подстановкой

$u(x,t)=v(x)e^{i\omega t}\$ или $u(x,t)=v(x)\,\mathop {\rm {cos}} \,(\omega t)\$.

Решение волнового уравнения

Основная статья: Формула Кирхгофа

Существует аналитическое решение гиперболического уравнения в частных производных. В евклидовом пространстве произвольной размерности оно называется формулой Кирхгофа. Частные случаи: для колебания струны ($\mathbb {R} ^{1}$) — формула Д’Аламбера, для колебания мембраны ($\mathbb {R} ^{2}$) — формула Пуассона.

Формула Д'Аламбера

Решение одномерного волнового уравнения (здесь $v=a$ — фазовая скорость)

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f(x,t)\quad$ (функция $f(x,t)$ соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

$u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)$

имеет вид

$u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{x-a(t-\tau )}^{x+a(t-\tau )}f(s,\tau )dsd\tau$

Интересно заметить, что решение однородной задачи

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}$,

имеющее следующий вид

$u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }$

может быть представлено в виде

$u(x,t)=f_{1}(x+at)+f_{2}(x-at)$

где

$f_{1}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{x}{\psi (\alpha )d\alpha }$

$f_{2}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x}^{0}{\psi (\alpha )d\alpha }$

В таком случае говорят, что решение представлено в виде суммы бегущих волн, а функции $f_{1}(x)$ и $f_{2}(x)$ — это профили волн, бегущих, соответственно, влево и вправо. В рассматриваемом случае профили волн со временем не изменяются.

В многомерном случае также решение задачи Коши может быть разложено в бегущие волны, однако уже не в сумму, а в интеграл, поскольку направлений становится бесконечно много. Это делается элементарно при помощи преобразования Фурье

Задача на полупрямой

Рассмотрим однородное уравнение колебаний на полупрямой $[0;+\infty )$

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}$

с закрепленным концом:

$u(0,t)=0$

и начальными условиями

$u(x,0)=\varphi (x),\qquad u_{t}(x,0)=\psi (x)$

для того, чтобы задача имела решение, необходима согласованность начальных условий и граничного условия, а именно:

$\varphi (0)=0,\qquad \psi (0)=0$

Задача на полупрямой легко сводится к задаче на прямой после того, как мы антисимметрично продолжим начальные условия:

$\varphi (-x)=-\varphi (x),\qquad \psi (-x)=-\psi (x)\qquad \forall x\in [0,+\infty )$

В силу того, что начальные условия $\varphi (x),\psi (x)$ — нечётные функции, логично ожидать, что и решение $u(x,t)$ будет нечётной функцией. В этом можно непосредственно убедиться, рассмотрев решение в виде формулы Д’Аламбера. Поэтому полученное решение u(x, t) будет удовлетворять начальным условиям и граничному условию $u(0,t)=0$ (последнее следует из нечётности функции).

Показанный приём широко используется (не только для волнового уравнения) и называется метод отражения. Например, можно рассмотреть волновое уравнение на полупрямой, но с граничным условием второго рода на конце $x=0$:

$u_{x}(0,t)=0$.

Физически условие означает, что левый конец стержня (если рассматривать систему как продольные колебания стержня) свободен, то есть на него не действует никакая сила.

Методы решения в ограниченной одномерной области

Метод отражений

Рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке $[0,a]$

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}$

с однородными граничными условиями первого рода (то есть при закрепленных концах)

$u(0,t)=0\qquad u(a,t)=0$

и начальными условиями

$u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]$

При помощи метода отражения задача может быть снова сведена к задаче на прямой. В данном случае потребуется бесконечное число отражений, в итоге продолженные начальные условия будут определяться таким образом:

$\varphi (2na+x)=\varphi (x)\qquad \psi (2na+x)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z$

$\varphi (2na-x)=-\varphi (x)\qquad \psi (2na-x)=-\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z$

При рассмотрении неоднородного волнового уравнения:

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f(x,t)$

используются ровно те же соображения, и функция $f(x,t)$ продолжается таким же образом.

Метод Фурье

Основная статья: Метод Фурье

Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке $[0,l]$

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}$

с однородными граничными условиями первого рода

$u(0,t)=0\qquad u(l,t)=0$

и начальными условиями

$u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,l]$

Метод Фурье основывается на представлении решения в виде (бесконечной) линейной комбинации простых решений задачи вида

$X(x)T(t)$, где обе функции зависят только от одной переменной.

Отсюда другое название метода — метод разделения переменных.

Нетрудно показать, что для того, чтобы функция $u(x,t)=X(x)T(t)$ была решением уравнения колебаний и удовлетворяла граничным условиям, необходимо, чтобы выполнялись условия

$X(0)=0\qquad X(l)=0$

$a^{2}X''(x)=-\lambda X(x)$

$T''(t)=-\lambda T(t)$

Решение задачи Штурма-Лиувилля на $X(x)$ приводит к ответу:

$X_{n}(x)=\sin \left({\frac {\pi nx}{l}}\right)\qquad n\in \mathbf {N}$

и их собственным значениям $\lambda _{n}=\left({\frac {\pi na}{l}}\right)^{2}$

Соответствующие им функции $T$ выглядят как

$T_{n}(t)=\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda }}_{n}t)+\beta _{n}\cos({\sqrt {\lambda }}_{n}t).$

Таким образом, их линейная комбинация (при условии, что ряд сходится) является решением смешанной задачи

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{+\infty }X_{n}(x)T_{n}(t)=\sum _{n=1}^{+\infty }\left(\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda }}_{n}t)+\beta _{n}\cos({\sqrt {\lambda }}_{n}t)\right)\sin {\frac {\pi nx}{l}}.$

Разложив функции $\varphi (x),\psi (x)$ в ряд Фурье, можно получить коэффициенты $\alpha _{n},\beta _{n}$, при которых решение будет обладать такими начальными условиями.

Метод учёта волн

Импульс, отражающийся от закрепленных граничных концов, упругие колебания моделируются волновым уравнением

Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке $[0,a]$

$u_{tt}=u_{xx},$

однако на сей раз положим однородные начальные условия

$u(x,0)\equiv 0,\quad u_{t}(x,0)\equiv 0\qquad \forall x\in [0,a]$

и неоднородные граничные. Например, будем считать, что задана зависимость положения концов стержня от времени (граничное условие первого рода)

$u(0,t)=\mu (t)\qquad u(a,t)=\nu (t)$

Решение записывается в виде

$u(x,t)=\sum _{k=0}^{+\infty }{\biggl [}\mu (t-x-2ka)-\mu (t+x-(2k+2)a){\biggr ]}+\sum _{k=0}^{+\infty }{\biggl [}\nu (t+x-(2k+1)a)-\nu (t-x-(2k+1)a){\biggr ]}$

В том, что оно удовлетворяет уравнению и начально-краевым условиям, можно убедиться непосредственно. Интересна интерпретация: каждое слагаемое в решении соответствует некоторому отражению одной из граничных волн. Например, левое граничное условие порождает волну вида

$\mu (t-x),$

которая, добегая за время а до правого конца, отражается и даёт вклад

$\mu (t+x-2a),$

через время а снова отражается и дает вклад

$\mu (t-x-2a),$

Этот процесс продолжается бесконечно долго, суммируя вклады всех волн и получаем указанное решение. Если нас интересует решение на промежутке $[0,T]$, то мы можем ограничиться лишь первыми $\lceil T/a\rceil$ слагаемыми.

См. также

• Спор о струне
• Уравнение Гельмгольца
• Уравнение Лапласа
• Уравнение Клейна — Гордона — Фока
• Волновое уравнение в случайно неоднородной среде
• Формула Кирхгофа
• Специальная теория относительности

Ссылки

• Волновое уравнение // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: Учебное пособие.. — 6-е изд., испр. и доп.. — М.: Изд-во МГУ, 1999. — 798 с. — ISBN 5-211-04138-0.