Открыть главное меню

Фо́рмула Кирхго́фа — аналитическое выражение для решения гиперболического уравнения в частных производных (т. н. «волнового уравнения») во всём трёхмерном пространстве. Методом спуска (то есть уменьшением размерности) из него можно получить решения двумерного (Формула Пуассона) и одномерного (Формула Д’Аламбера) уравнения.

Содержание

Полная формулировка задачи и ответаПравить

Рассмотрим уравнение

 , где функции   и   определены на  , а   — оператор Лапласа.

Это уравнение определяет распространение бегущей волны в n-мерной однородной среде со скоростью   в моменты времени  .

Для того, чтобы решение было однозначным, необходимо определить начальные условия. Начальные условия определяют состояние пространства (или, говорят, «начальное возмущение») в момент времени  :

 

Тогда обобщённая формула Кирхгофа даёт решение этой задачи в трёхмерном случае:

 

где поверхностные интегралы берутся по сфере  .

Сам Кирхгоф рассматривал только трёхмерный случай.

Простой вывод решения основной задачи использует преобразование Фурье.

Физические следствияПравить

 
Передний и задний волновые фронты от локализованного в пространстве возмущения действуют на наблюдателя в течение ограниченного отрезка времени

Пусть в начальный момент времени   на некотором компакте M есть локальное возмущение (  и/или  ). Если мы находимся в некоторой точке  , то, как видно из формулы (область интегрирования), возмущение мы почувствуем через время  .

Вне отрезка времени  , где  , функция u(x 0t) равна нулю.

Таким образом, начальное возмущение, локализованное в пространстве, вызывает в каждой точке пространства действие, локализованное во времени, то есть возмущение распространяется в виде волны, имеющей передний и задний фронты, что выражает принцип Гюйгенса). На плоскости же этот принцип нарушается. Обоснованием этого является тот факт, что носитель возмущения, компактный в  , уже не будет компактным в  , а будет образовывать бесконечный цилиндр, и, следовательно, возмущение будет неограниченно во времени (у цилиндрических волн отсутствует задний фронт).[1]

Формула ПуассонаПарсеваляПравить

Решение уравнения колебаний мембраны (двумерного пространства)

 
(функция   соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

 

задаётся формулой:

 .

Формула Д'АламбераПравить

Решение одномерного волнового уравнения

  (функция   соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

 

имеет вид[2]

 
 
В область II приходят характеристики только из одного семейства

При пользовании формулой Д’Аламбера следует учесть, что иногда решение может не быть единственным во всей рассматриваемой области  . Решение волнового уравнения представляется в виде суммы двух функций:  , то есть оно определяется двумя семействами характеристик:  . Пример, показанный на рисунке справа, иллюстрирует волновое уравнение для полубесконечной струны, и начальные условия в нём заданы только на зеленой линии x≥0. Видно, что в область I приходят как ξ-характеристики, так и η-характеристики, в то время как в области II есть только ξ-характеристики. То есть, в области II формула Д’Аламбера не работает.

Применение формулПравить

В общем виде формула Кирхгофа довольно громоздка, а потому решение задач математической физики с её помощью обычно является затруднительным. Однако, можно воспользоваться линейностью волнового уравнения   с начальными условиями   и искать решение в виде суммы трех функций:  , которые удовлетворяют следующим условиям:

 
 
 

Сама по себе такая операция не упрощает пользование формулой Кирхгофа, но для некоторых задач оказывается возможным подбор решения, либо сведение многомерной задачи к одномерной путём замены переменных. Например, пусть  . Тогда после замены   уравнение для задачи «С» примет вид:

 

Таким образом, пришли к одномерному уравнению, а, значит, можно воспользоваться формулой Д’Аламбера:

 

В силу четности начального условия, решение сохранит свой вид во всей области  .

ПримечанияПравить

  1. КИРХГОФА ФОРМУЛА // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия (тт. 1—2); Большая Российская энциклопедия (тт. 3—5), 1988—1999. — ISBN 5-85270-034-7.
  2. Формула Д’Аламбера в Физической энциклопедии

ЛитератураПравить

  • Михайлов В.П., Михайлова Т.В., Шабунин М.И. Сборник типовых задач по курсу Уравнения математической физики. — М.: МФТИ, 2007. — ISBN 5-7417-0206-6.

СсылкиПравить