И́мпульс (коли́чество движе́ния) — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела.

Импульс
Размерность LMT−1
Единицы измерения
СИ кг·м/с
СГС г·см/с
Примечания
векторная величина

В классической механике импульс тела равен произведению массы этого тела на его скорость , направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

.

В релятивистской физике импульс вычисляется как

,

где скорость света; в пределе малых формула переходит в классическую.

Важнейший физический закон в котором фигурирует импульс тела, — второй закон Ньютона

.

Здесь — время, сила, приложенная к телу. В записи через импульс (в отличие от , — ускорение) закон применим не только в классической, но и в релятивистской механике.

В самом общем виде, определение звучит: импульс — это аддитивный интеграл движения механической системы, связанный согласно теореме Нётер с фундаментальной симметриейоднородностью пространства.

Понятие «импульс» имеет обобщения в теоретической механике, для случая наличия электромагнитного поля (как для частицы в поле, так и для самого поля), а также в квантовой механике.

История появления терминаПравить

Средневековые натурфилософы, в соответствии с учением Аристотеля, полагали, что для поддержания движения непременно требуется некоторая сила, без силы движение прекращается. Часть учёных выдвинула возражение против этого утверждения: почему брошенный камень продолжает двигаться, хотя связь с силой руки утрачена?

Для ответа на подобные вопросы Жан Буридан (XIV век) изменил ранее известное в философии понятие «импетус». По Буридану, летящий камень обладает «импетусом», который сохранялся бы в отсутствие сопротивления воздуха. При этом «импетус» прямо пропорционален скорости. В другом месте он пишет о том, что тела с бо́льшим весом способны вместить больше импетуса.

В первой половине XVII века Рене Декартом было введено понятие «количества движения». Он высказал предположение о том, что сохраняется не только количество движения одного тела, изолированного от внешних воздействий, но и любой системы тел, взаимодействующих лишь друг с другом. Физическое понятие массы в то время ещё не было формализовано — и он определил количество движения как произведение «величины тела на скорость его движения». Под скоростью Декарт подразумевал абсолютную величину (модуль) скорости, не учитывая её направление. Поэтому теория Декарта согласовывалась с опытом лишь в некоторых случаях (например, Валлис, Рен и Гюйгенс в 1668 году использовали её для исследования абсолютно упругого столкновения в системе центра масс).

Валлис в 1668 году первым предложил считать количество движения не скалярной, а направленной величиной, учитывая направления с помощью знаков «плюс» и минус»[1]. В 1670 году он окончательно сформулировал закон сохранения количества движения. Экспериментальным доказательством закона послужило то, что новый закон позволял рассчитывать неупругие удары, а также удары в любых системах отсчёта.

Закон сохранения количества движения был теоретически доказан Исааком Ньютоном через третий и второй закон Ньютона. Согласно Ньютону, «количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе».

Формальное абстрактное определениеПравить

Импульсом называется сохраняющаяся физическая величина, связанная с однородностью пространства (то есть инвариант относительно трансляций).

Из свойства однородности пространства следует независимость лагранжиана замкнутой системы от её положения в пространстве: для хорошо изолированной системы её поведение не зависит от того, в какое место пространства она помещена. По теореме Нётер из этой однородности следует сохранение некоторой физической величины, которую и называют импульсом.

В разных разделах физики применительно к реальным задачам даются более конкретные определения импульса, с которыми можно работать и производить расчёты.

Определения импульса тела в механикеПравить

Классическая механикаПравить

В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорости:

 ,

соответственно величина   называется импульсом одной материальной точки. Это векторная величина, направленная в ту же сторону, что и скорость частицы. Единицей измерения импульса в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

Импульс тела конечных размеров находится путём его мысленного разбиения на малые части, которые можно считать материальными точками, с последующим интегрированием по ним:

 .

Стоящее под интегралом произведение   носит название плотности импульса.

Релятивистская механикаПравить

В релятивистской механике импульсом системы материальных точек называется величина

 ,

где   — масса  -й материальной точки,   — её скорость.

Также вводится четырёхмерный импульс, который для одной материальной точки массой   определяется как

 .

На практике часто применяются соотношения

 

между массой, импульсом и энергией частицы.

Свойства импульсаПравить

  • Аддитивность. Это свойство означает, что импульс механической системы, состоящей из материальных точек, равен сумме импульсов всех материальных точек, входящих в систему[2].
  • Инвариантность абсолютной величины импульса по отношению к повороту ИСО.[2] При этом в общем случае при смене ИСО инвариантности импульса или его модуля нет ни в релятивистской механике, ни в классическом пределе.
  • Причиной изменения импульса со временем является сила (по второму закону Ньютона,  ).
  • Сохранение. Импульс системы, на которую не действуют никакие внешние силы (или они скомпенсированы), сохраняется во времени:  .

Сохранение импульса следует из второго и третьего законов Ньютона: записав второй закон для каждой из составляющих систему материальных точек, представив силу, действующую на каждую точку, как внешнюю   плюс силу взаимодействия со всеми остальными точками, затем просуммировав, получим

 .

Первое слагаемое равно нулю из-за компенсации внешних сил, а второе — вследствие третьего закона Ньютона (слагаемые   и   в двойной сумме попарно уничтожают друг друга).

Импульс не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея[2]. Свойства сохранения кинетической энергии, сохранения импульса и второго закона Ньютона достаточно для получения математического выражения импульса[3][4].

При наличии электромагнитного взаимодействия между материальными точками третий закон Ньютона может не выполняться — и тогда сохранения суммы импульсов точек не будет. В таких случаях, особенно в релятивистской механике, удобнее включать в понятие «система» не только совокупность точек, но и поле взаимодействия между ними. Соответственно, будут учтены не только импульсы составляющих систему частиц, но и импульс поля взаимодействия. При этом вводится величина — тензор энергии-импульса, которая в полной мере удовлетворяет законам сохранения.

Что касается 4-импульса, то для системы не взаимодействующих материальных точек их совокупный 4-импульс равен сумме по всем частицам. При наличии воаимодействия такое суммирование теряет смысл.

Обобщённый импульсПравить

В теоретической механике в целомПравить

В теоретической механике обобщённым импульсом называется частная производная лагранжиана системы по обобщённой скорости

 .

Обобщенный импульс, как и не обобщённый, обозначается буквой  ; обычно из контекста ясно, о чём идёт речь.

Размерность обобщённого импульса зависит от размерности обобщённой координаты. Скажем, если размерность   — длина, то   будет иметь размерность обычного импульса, если же координатой   выступает угол (величина безразмерная), то   обретёт размерность момента импульса. Если лагранжиан системы не зависит от некоторой обобщённой координаты, то из уравнений Лагранжа  .

Если обобщённая координата — это обычная координата (и тогда её производная по времени — просто скорость), а внешниз полей нет, обобщённый импульс тождественен обычному. Так, для свободной частицы функция Лагранжа имеет вид:  , отсюда:  .

Для частицы в электромагнитном полеПравить

В электромагнитном поле лагранжиан частицы будет отличаться от приведённого выше наличием дополнительных членов, а именно  . Соответственно, обобщённый импульс частицы равен

 ,

где   — векторный потенциал электромагнитного поля,  заряд частицы; в выражении для   фигурировал также скалярный потенциал  .

Импульс электромагнитного поляПравить

Электромагнитное поле, как и любой другой материальный объект, обладает импульсом, который легко можно найти, проинтегрировав вектор Пойнтинга по объёму:

  (в системе СИ).

Существованием импульса у электромагнитного поля объясняется, например, такое явление как давление электромагнитного излучения.

Импульс в квантовой механикеПравить

Определение через операторПравить

В квантовой механике оператором импульса частицы называют оператор — генератор группы трансляций. Это эрмитов оператор, собственные значения которого отождествляются с импульсом системы частиц. В координатном представлении для системы нерелятивистских частиц он имеет вид

 ,

где   — оператор набла, соответствующий дифференцированию по координатам  -ой частицы. Гамильтониан системы выражается через оператор импульса:

 .

Для замкнутой системы ( ) оператор импульса коммутирует с гамильтонианом, и импульс сохраняется.

Определение через волны де БройляПравить

Формула де Бройля связывает импульс и длину волны де Бройля рассматриваемого объекта.

Модуль импульса обратно пропорционален длине волны  :

 ,

где  постоянная Планка.

Для частиц не очень высокой энергии, движущихся со скоростью   (скорости света), модуль импульса равен   (где   — масса частицы), и

 .

Следовательно, длина волны де Бройля тем меньше, чем больше модуль импульса.

В векторном виде это записывается как:

 ,

где   — волновой вектор.

Импульс в гидродинамикеПравить

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа  . При этом вместо импульса фигурирует вектор плотности импульса, совпадающий по смыслу с вектором плотности потока массы

 .

Поскольку в турбулентном потоке характеристики состояния вещества (в том числе плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока в соответствии с методом О. Рейнольдса получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса[5]. Если в согласии с методом Рейнольдса представить  ,  , где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то вектор осреднённой плотности импульса приобретёт вид:

 ,

где   — вектор плотности флуктуационного потока массы (или «плотность турбулентного импульса»[5]).

Импульсное представление в квантовой теории поляПравить

В квантовой теории поля часто употребляется импульсное представление на основе использования преобразования Фурье. Его преимуществами являются: удобство описания физических систем при помощи энергий и импульсов, а не при помощи пространственно-временных координат; более компактная и наглядная структура динамических переменных[6].

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

ПримечанияПравить

  1. Григорьян А. Т. Механика от античности до наших дней. — М.: Наука, 1974.
  2. 1 2 3 Айзерман, 1980, с. 49.
  3. Айзерман, 1980, с. 54.
  4. Сорокин В. С. "Закон сохранения движения и мера движения в физике" // УФН, 59, с. 325–362, (1956)
  5. 1 2 Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Часть 1. — М.: Наука, 1965. — 639 с.
  6. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — М., Наука, 1980. — с. 25