Оператор импульса

Оператор импульса — квантово-механический оператор, использующийся для описания импульса.

Определение на основе волны де БройляПравить

Операторы энергии и импульса могут быть построены следующим способом[1].

Одномерный случайПравить

Решение одномерного уравнения Шрёдингера в виде плоской волны имеет вид:

 

Производная первого порядка по координате:

 

Выражая   из соотношения де Бройля:

 

формула для производной ψ принимает следующий вид:

 

Таким образом, получаем:

 

Величины, которые измеряются в эксперименте, — это собственные значения данного оператора.

Так как частная производная — это линейный оператор, оператор импульса также линеен. Поскольку каждая волновая функция может быть выражена как квантовая суперпозиция состояний, когда этот оператор импульса действует на всю суперпозицию волн, он даёт собственные значения для каждой плоской волны, сумма которых представляет собой результирующий импульс суперпозиции волн.

Три измеренияПравить

Уравнение в трёх измерениях записывается аналогично, за исключением оператора градиента, включающим в себя частные производные по координатам. В трёхмерном случае решение уравнения Шрёдингера в виде плоских волн будет следующим:

 

где градиент

 

где  ,   и   — это единичные векторы для трёхмерности, а значит

 

Это оператор импульса в координатном представлении — частные производные в нём берутся по отношению к пространственным переменным.

Определение на основе инвариантности к трансляциямПравить

Трансляционный оператор обозначается как T(ϵ), где ϵ представляет собой величину трансляции и удовлетворяет следующему соотношению:

 

которое становится

 

Считая ψ аналитической функцией (то есть дифференцируемой в некоторой области комплексной плоскости), её можно разложить в ряд Тейлора по x:

 

тогда:

 

Как известно из классической механики, импульс — это генератор трансляций, так что соотношение между операторами трансляции и импульса будет иметь вид:

 

тогда

 

Четырёхмерный оператор импульсаПравить

Данный оператор имеет вид:

 

где ∂μ — это 4-градиент, а становится + перед трёхмерным оператором импульса. Этот оператор появляется в релятивистской квантовой теории поля, так же как и уравнение Дирака и другие релятивистские волновые уравнения. Энергия и импульс комбинируются в 4-вектор импульса и соответствуют частным производным первого порядка по времени и координате для соответствия лоренцовской инвариантности.

СвойстваПравить

ЭрмитовостьПравить

Оператор импульса относится к эрмитовым операторам[2].

Коммутационные соотношенияПравить

Используя координатное или импульсное представление, можно показать, что:

 

Доказательство:

Распишем выражение и домножим его на функцию  

 

применив правило дифференцирования сложной функции получим:

 

сократим:

 

поделим обе части на функцию  

 

Таким образом, координата и импульс — сопряжённые величины.

Более того, операторы компонент импульса также коммутативны.

Преобразование ФурьеПравить

Можно показать, что преобразование Фурье импульса — это оператор координаты. Используя запись в виде бра и кет векторов:

 

То же применимо и для оператора координаты в импульсном представлении:

 

и ещё одно важное соотношение:

 
 

где   отвечает дельта-функции Дирака.

СсылкиПравить

  1. Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd Edition), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0
  2. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2