Сопряжённый оператор

Сопряжённый оператор — обобщение понятия эрмитово-сопряжённой матрицы для бесконечномерных пространств.

Линейная алгебра

Преобразование $\varphi ^{*}$ называется сопряжённым линейному преобразованию $\varphi$, если для любых векторов $x$ и $y$ выполнено равенство $\left(\varphi \left(x\right),y\right)=\left(x,\varphi ^{*}\left(y\right)\right)$. У каждого преобразования существует единственное сопряжённое преобразование. Его матрица в базисе определяется по матрице преобразования формулой $A^{*}=\Gamma ^{-1}A^{T}\Gamma$, если пространство евклидово, и формулой $A^{*}={\overline {\Gamma ^{-1}A^{T}\Gamma }}$ в унитарном пространстве. $\Gamma$ здесь обозначает матрицу Грама выбранного базиса. Если он ортонормированный, эти формулы принимают вид $A^{*}=A^{T}$ и $A^{*}={\bar {A}}^{T}$ соответственно.

Общее линейное пространство

Пусть $E,\,L$ — линейные пространства, а $E^{*},\,L^{*}$ — сопряжённые линейные пространства (пространства линейных функционалов, определённых на $E,\,L$). Тогда для любого линейного оператора $A\colon E\to L$ и любого линейного функционала $g\in L^{*}$ определён линейный функционал $f\in E^{*}$ — суперпозиция $g$ и $A$: $f(x)=g(A(x))$. Отображение $g\mapsto f$ называется сопряжённым линейным оператором и обозначается $A^{*}\colon L^{*}\to E^{*}$.

Если кратко, то $(A^{*}g,x)=(g,Ax)$, где $(B,x)$ — действие функционала $B$ на вектор $x$.

Топологическое линейное пространство

Пусть $E,\,L$ — топологические линейные пространства, а $E^{*},\,L^{*}$ — сопряжённые топологические линейные пространства (пространства непрерывных линейных функционалов, определённых на $E,\,L$). Для любого непрерывного линейного оператора $A\colon E\to L$ и любого непрерывного линейного функционала $g\in L^{*}$ определён непрерывный линейный функционал $f\in E^{*}$ — суперпозиция $g$ и $A$: $f(x)=g(A(x))$. Нетрудно проверить, что отображение $g\mapsto f$ линейно и непрерывно. Оно называется сопряжённым оператором и обозначается также $A^{*}\colon L^{*}\to E^{*}$.

Банахово пространство

Пусть $A\colon X\to Y$ — непрерывный линейный оператор, действующий из банахова пространства $X$ в банахово пространство $Y$ и пусть $X^{*},Y^{*}$ — сопряжённые пространства. Обозначим $\forall x\in X,f\in Y^{*}[Ax,f]=f(Ax)$. Если $f$ — фиксировано, то $[Ax,f]$ — линейный непрерывный функционал в $X,[Ax,f]\in X^{*}$. Таким образом, для $\forall f\in Y^{*}$ определён линейный непрерывный функционал из $X^{*}$, поэтому определён оператор $A^{*}\colon Y^{*}\to X^{*}$, такой что $[Ax,f]=[x,A^{*}f]$.

$A^{*}$ называется сопряжённым оператором. Аналогично можно определять сопряжённый оператор к линейному неограниченному оператору, но он будет определён не на всём пространстве.

Для $A^{*}$ справедливы следующие свойства:

• Оператор $A^{*}$ — линейный.
• Если $A$ — линейный непрерывный оператор, то $A^{*}$ также линейный непрерывный оператор.
• Пусть $O$ — нулевой оператор, а $E$ — единичный оператор. Тогда $O^{*}=O,E^{*}=E$.
• $(A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}$.
• $\forall \alpha \in \mathbb {C} ,(\alpha A)^{*}={\bar {\alpha }}A^{*}$.
• $(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$.
• $(A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1}$.

Гильбертово пространство

В гильбертовом пространстве $H$ теорема Рисса даёт отождествление пространства со своим сопряжённым, поэтому для оператора $A\colon H\to H$ равенство $(Ax,y)=(x,A^{*}y)$ определяет сопряжённый оператор $A^{*}\colon H\to H$. Здесь $(x,y)$ — скалярное произведение в пространстве $H$.

См. также

• Эрмитов оператор

Литература

• Шефер Х. Топологические векторные пространства. — М.: Мир, 1971.
• Ворович И.И., Лебедев Л.П. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды. — М.: Вузовская книга, 2000. — 320 с.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Функциональный анализ / редактор С.Г.Крейн. — 2-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1972. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М.: Наука, 1970. — 352 с.
• Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.