Унитарное пространство

Унитарное пространство — векторное пространство над полем комплексных чисел с положительно определённым[1][2] эрмитовым скалярным произведением, комплексный аналог евклидова пространства.

ОпределениеПравить

Эрмитовым скалярным произведением в векторном пространстве   над полем комплексных чисел называется полуторалинейная форма   удовлетворяющая дополнительному условию[3]:

  •   где  квантор всеобщности.

Другими словами, это означает, что функция   удовлетворяющая следующим условиям[3]:

  • 1) линейность скалярного произведения по первому аргументу:
  и   справедливы равенства:
 

(иногда в определении вместо этого берут линейность по второму аргументу, что не принципиально, потому что за счёт условия   они равносильны)

  • 2) эрмитовость скалярного произведения:
  справедливо равенство  
  • 3) положительная определённость скалярного произведения:
    и   причём   только при  

СвойстваПравить

  • Над действительным пространством условие полуторалинейности эквивалентно билинейности, а эрмитовость — симметричности, и скалярное произведение становится положительно определенной билинейной симметричной функцией  .
  • Полуторалинейная форма   является эрмитовой тогда и только тогда[3], когда для всех векторов   функция   принимает только вещественные значения.

Отличия от евклидова пространстваПравить

Унитарные пространства обладают всеми свойствами евклидовых пространств, за исключением четырёх отличий:[4]

  1.  
  2. неравенство Коши — Буняковского:  
  3. понятие угла не имеет содержательного смысла;
  4. Матрица Грама   системы векторов   является эрмитовой  

ЛитератураПравить

ПримечанияПравить

  1. А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. — С. 126.
  2. А. Е. Умнов. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. — Москва: МФТИ, 2011. — С. 400.
  3. 1 2 3 Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. VI, § 6.3. — М.: Физматлит, 2009.
  4. Шикин Е. В. Линейные пространства и отображения. — М., МГУ, 1987. — с. 51-52