Унитарное пространство

Унитарное пространство — векторное пространство над полем комплексных чисел с эрмитовым скалярным произведением, комплексный аналог евклидова пространства.

ОпределениеПравить

Эрмитовым скалярным произведением в векторном пространстве   над полем комплексных чисел называется полуторалинейная форма   удовлетворяющая дополнительному условию[1]:

  •  

Другими словами, это означает, что функция   удовлетворяющая следующим условиям[1]:

  • 1) (линейность скалярного произведения по первому аргументу)
  и   справедливы равенства:
 

(иногда в определении вместо этого берут линейность по второму аргументу, что не принципиально)

  • 2) (эрмитовость скалярного произведения)
  справедливо равенство  ,
  • 3) (положительная определенность скалярного произведения)
  имеем   и   причем   только при  .

СвойстваПравить

  • Над действительным пространством условие полуторалинейности эквивалентно билинейности, а эрмитовость — симметричности, и скалярное произведение становится положительно определенной билинейной симметричной функцией  .
  • Полуторалинейная форма   является эрмитовой тогда и только тогда[1], когда функция   принимает только вещественные значения для всех векторов  

Cм. такжеПравить

ЛитератураПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. VI, § 6.3. — М.: Физматлит, 2009.