Полуторалинейная форма

Полуторалинейная форма — обобщение понятия билинейной формы. Как правило под полуторалинейной формой подразумевают функцию f(x, y) от двух векторов векторного пространства над полем со значениями в этом поле, если она линейная как функция при каждом фиксированном и полулинейная как функция при каждом фиксированном . Требование полулинейности по означает, что выполнены следующие условия:[1]

Так определённые формы естественным образом возникают в приложениях к физике.

Существует обобщение на случай, когда векторное пространство рассматривается над произвольным полем, тогда комплексное сопряжение заменяется на произвольный фиксированный автоморфизм поля. В проективной геометрии иногда рассматривают ещё большее обобщение, когда вместо векторного пространства используется модуль над произвольным телом .

Договорённости о порядке аргументовПравить

В приведённом в преамбуле определении выполнена линейность по первому аргументу и полулинейность по второму. Такая договорённость часто используется в математической литературе. Стоит, однако, отметить, что в физической литературе чаще используется полулинейность по первому аргументу[2], эта договорённость проистекает из введённых Дираком в квантовой механике обозначений бра и кет.

В комплексном векторном пространствеПравить

Отображение   в комплексном векторном пространстве   называется полуторалинейным, если:

 

для всех   и всех   Здесь под   подразумевается число, комплексно сопряжённое к числу  

Комплексную полуторалинейную форму можно также рассматривать как комплексное билинейное отображение

 
где   — комплексно-сопряжённое векторное пространство к пространству  

Для фиксированного   отображение   является линейным функционалом на  , то есть элементом двойственного пространства  . Аналогично, отображение   при фиксированном   является антилинейным функционалом на  

Для любой комплексной полуторалинейной формы   можно рассмотреть вторую форму   по формуле:

 
В общем случае   и   будут различны, а их матрицы эрмитово-сопряжены. Если формы совпадают, говорят, что   эрмитова. Аналогично, если они противоположны друг другу, то говорят, что   косоэрмитова.

Матричное представлениеПравить

Пусть   — конечномерное комплексное векторное пространство, тогда для любого базиса   полуторалинейную форму   можно представить при помощи матрицы   по следующей формуле:

 
Элементы матрицы   определяются из условия  

Эрмитовы формыПравить

Эрмитова форма (также полуторалинейная симметрическая форма) — это полуторалинейная форма   на комплексном пространстве   такая, что

 

В случае положительной определённости такой формы (определяемой аналогично билинейному случаю) говорят об эрмитовом скалярном произведении. Стандартное эрмитово произведение задаётся формулой

 

Пару из векторного пространства и определённой на нём эрмитовой формы   называют эрмитовым пространством, а в положительно определённом случае — комплексным гильбертовым пространством. При записи эрмитовой формы в произвольном базисе получается эрмитова матрица.

При применении эрмитовой формы к одному и тому же вектору

 
всегда получается вещественное число. Можно показать, что комплексная полуторалинейная форма эрмитова тогда и только тогда, когда соответствующая квадратичная форма вещественна для всех  

Косоэрмитовы формыПравить

Косоэрмитова форма — это полуторалинейная форма   на комплексном пространстве   такая, что

 
Каждую косоэрмитову форму можно представить как эрмитову, умноженную на  .

При записи косоэрмитовой формы в произвольном базисе получается косоэрмитова (антиэрмитова) матрица.

При применении косоэрмитовой формы к одному и тому же вектору

 
всегда получается чисто мнимое число.

Над кольцом с делениемПравить

Понятие полуторалинейной формы допускает обобщение на произвольное кольцо с делением. В коммутативном случае это область целостности, в некоммутативном чаще всего используется частный случай, когда кольцо является телом. В коммутативном случае в дальнейшем тексте все антиавтоморфизмы можно считать просто автоморфизмами, так как эти понятия совпадают для коммутативных колец.

ОпределениеПравить

Пусть   — кольцо с делением, а   — фиксированный антиавтоморфизм[en] этого кольца. Тогда  -полуторалинейная форма на левом  -модуле   — это билинейное отображение   такое, что для любых   из модуля   и любых скаляров   из   выполнено:

 

Ортогональное дополнениеПравить

Для данной полуторалинейной формы   на модуле   и подмодуля   модуля   ортогональным дополнением   называется

 

Аналогично, говорят, что элемент   ортогонален элементу   по отношению к форме  , если  . Это обозначают как  , или просто  , если форма ясна из контекста. Это отношение не обязательно симметрично, то есть из   не следует  . Если для всех   из   следует  , то форму называют рефлексивной.


ПримерПравить

Пусть   — трёхмерное векторное пространство над конечным полем  , где  степень простого числа. Пусть два вектора   и   заданы координатами в стандартном базисе   и  . Тогда можно определить отображение   формулой:

 

Отображение   — автоморфизм  , являющийся инволюцией. Отображение   является  -полуторалинейной формой. Эта форма эрмитова, а матрица  , соответствующая этой форме в стандартном базисе — это просто единичная матрица.


См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. VI, § 6.3. — М.: Физматлит, 2009.
  2. примечание 1 в Anthony Knapp Basic Algebra (2007) pg. 255 Архивная копия от 31 октября 2021 на Wayback Machine

ЛитератураПравить


Внешние ресурсыПравить